Classes de matrizes especiais e aplicações

• Autor(a) principal: Silva, Ana Caroline Almeida da
• Data de Publicação: 2021
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/10773/34199
• topic: Álgebra linear; Matrizes hermíticas; Normais; Semidefinidas positivas; Unitárias; Valores e vetores próprios; Decomposição espectral; Decomposição em valores singulares; Desigualdades matriciais

Nesta dissertação pretendemos apresentar algumas classes específicas de matrizes consideradas de interesse em Álgebra Linear. De entre as matrizes normais, destacam-se, em especial, as matrizes Hermíticas, semidefinidas positivas e unitárias. Começamos essa incursão, desenvolvendo um ambiente histórico e contextualizado do surgimento e motivação para o que é abordado. Após algumas definições e tipos de matrizes, relembramos propriedades dos valores e vetores próprios, que serão fundamento para a perceção da grande maioria dos teoremas abordados e os conceitos de norma e produto interno. Discorremos sobre operadores lineares, a notoriedade do auto-adjunto e sua relação com as anteriores classes de matrizes. Elencamos propriedades espectrais destes operadores e apresentamos decomposições matriciais, como sejam a decomposição de Schur, decomposição espetral e a decomposição em valores singulares que por sua vez conduz a algumas aplicações em vários ramos da matemática. Outras contextualizações ainda são observadas, incluindo algumas desigualdades para matrizes Hermíticas, entre as quais a desigualdade de Löwner-Heinz, a desigualdade de Hadamard e a desigualdade de Golden-Thompson, também associada às matrizes de Pauli.