Some Contributions to the Study of Evolution Equation Describing Pseudospherical Surfaces and the Theory of Zero-Curvature Representations

Detalhes bibliográficos
Autor(a) principal: Silva, Luiz Alberto de Oliveira
Data de Publicação: 2015
Tipo de documento: Tese
Idioma: por
Título da fonte: Repositório Institucional da UFBA
Texto Completo: http://repositorio.ufba.br/ri/handle/ri/22667
Resumo: Este trabalho fornece algumas contribuições originais para o estudo geométrico de equações evolutivas que descrevem superfícies pseudo-esféricas (equações PEs). Por definição, uma equação PE para funções z = z(x; t) _e equivalente _as equações de estrutura d!1 = !3 ^ !2, d!2 = !1 ^ !3, d!3 =!1 ^ !2 de uma variedade Riemanniana 2-dimensional com curvatura Gaussiana K = 1, com 1-formas !i = fi1 dx+fi2 dt, i = 1; 2; 3, satisfazendo a condições de não-degeneração !1 ^ !2 6= 0 e com fij funções suaves de x, t, z e suas derivadas com respeito a x e t. Usando a noções de representação a curvatura nula (RCN), pode-se dizer que toda equação PE admite uma RCN a valores em sl (2;R).
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Usando a noções de representação a curvatura nula (RCN), pode-se dizer que toda equação PE admite uma RCN a valores em sl (2;R).A primeira contribui¸c˜ao deste trabalho diz respeito a uma classifica¸c˜ao completa e explícita de equações PEs evolutivas de segunda ordem da forma zt = A(x, t, z)z2 + B(x, t, z, z1), com z = z (x, t) e zi = ∂ i z ∂xi , sob as hip´oteses que fij = fij (x, t, z, z1, z2) e f21 = η. De acordo com a classifica¸c˜ao dada, estas equações subdividem-se em trˆes classes principais (chamadas de Tipos I-III) juntamente com os correspondentes sistemas de 1-formas {ω1, ω2, ω3} que, em virtude da hipótese f21 = η, definem para cada tipo uma fam´ılia a 1-parˆametro de RCNs associadas. Nesta classe de equações PEs encontram-se em particular algumas equações já conhecidas, dentre as quais as equações integráveis classificadas por Svinolupov e Sokolov, a equa¸c˜ao de Boltzmann, e equa¸c˜oes de rea¸c˜ao e difus˜ao como a equa¸c˜ao de Murray. Ulteriores novos exemplos explicitos s˜ao tamb´em apresentados. A segunda contribuição ´e relativa ao problema de existência de imersões isométricas locais, no espaço Euclidiano 3-dimensional E3 , para as fam´ılias de superf´ıcies pseudo-esf´ericas descritas pelas equa¸c˜oes PEs da classifica¸c˜ao acima. O resultado principal obtido neste caso ´e que estas imers˜oes existem somente para as equa¸c˜oes do Tipo I, que possuem forma de lei de conserva¸c˜ao, e isso levou `a uma extens˜ao natural deste resultado ao caso das equa¸c˜oes evolutivas de ordem k da forma Dt (f(x, t, z)) = Dx (Ω(x, t, z, z1, . . . , zk)). No ˆambito da literatura existente sobre este problema, todos os resultados obtidos nesta parte do trabalho s˜ao novos; em particular al´em de equa¸c˜oes de segunda ordem, como por exemplo as equa¸c˜oes de Boltzmann, Murray e as equa¸c˜oes de Svinolupov e Sokolov, entre os exemplos de equa¸c˜oes PEs que admitem este tipo de imers˜ao isom´etrica h´a tamb´em equa¸c˜oes de ordem superior como as equa¸c˜oes de Kuramoto-Sivashinsky, Sawada-Kotera, Kaup-Kupershmidt e inteiras hierarquias de equa¸c˜oes integr´aveis como as de Burgers, mKdV e KdV. Finalmente, n´os consideramos o problema de construir fam´ılias a 1-parˆametro n˜ao-triviais de RCNs para equações PEs. Este problema ´e de interesse especial para as aplicações da teoria das RCNs, por exemplo no calculo de soluções exatas e hierarquias infinitas de leis de conserva¸c˜ao, e tem sido resolvido no caso mais geral de RCNs a valores em g, com g uma sub-´álgebra de gl(n, R) ou gl(n, C), usando a teoria de simetrias clássicas de equacões diferenciais.Submitted by Santos Davilene (davilenes@ufba.br) on 2017-05-30T22:02:04Z No. of bitstreams: 1 Tese - Versão definitiva- Luiz Alberto Oliveira.pdf: 1176212 bytes, checksum: 682151271cf115f6a5ac0fea44cd999a (MD5)Approved for entry into archive by Vanessa Reis (vanessa.jamile@ufba.br) on 2017-06-01T12:55:33Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Tese - Versão definitiva- Luiz Alberto Oliveira.pdf: 1176212 bytes, checksum: 682151271cf115f6a5ac0fea44cd999a (MD5)Made available in DSpace on 2017-06-01T12:55:33Z (GMT). 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Departamento de MatemáticaDoutorado em Matemática UFBA/UFALUFBABrasilinfo:eu-repo/semantics/openAccessporreponame:Repositório Institucional da UFBAinstname:Universidade Federal da Bahia (UFBA)instacron:UFBAORIGINALTese - Versão definitiva- Luiz Alberto Oliveira.pdfTese - Versão definitiva- Luiz Alberto Oliveira.pdfTeseapplication/pdf1176212https://repositorio.ufba.br/bitstream/ri/22667/1/Tese%20-%20Vers%c3%a3o%20definitiva-%20Luiz%20Alberto%20Oliveira.pdf682151271cf115f6a5ac0fea44cd999aMD51LICENSElicense.txtlicense.txttext/plain1383https://repositorio.ufba.br/bitstream/ri/22667/2/license.txt05eca2f01d0b3307819d0369dab18a34MD52TEXTTese - Versão definitiva- Luiz Alberto Oliveira.pdf.txtTese - Versão definitiva- Luiz Alberto Oliveira.pdf.txtExtracted texttext/plain200759https://repositorio.ufba.br/bitstream/ri/22667/3/Tese%20-%20Vers%c3%a3o%20definitiva-%20Luiz%20Alberto%20Oliveira.pdf.txt976d5fa8cb92450d446f1934114504fdMD53ri/226672022-03-10 14:55:06.241oai:repositorio.ufba.br:ri/22667VGVybW8gZGUgTGljZW7Dp2EsIG7Do28gZXhjbHVzaXZvLCBwYXJhIG8gZGVww7NzaXRvIG5vIFJlcG9zaXTDs3JpbyBJbnN0aXR1Y2lvbmFsIGRhIFVGQkEuCgogUGVsbyBwcm9jZXNzbyBkZSBzdWJtaXNzw6NvIGRlIGRvY3VtZW50b3MsIG8gYXV0b3Igb3Ugc2V1IHJlcHJlc2VudGFudGUgbGVnYWwsIGFvIGFjZWl0YXIgCmVzc2UgdGVybW8gZGUgbGljZW7Dp2EsIGNvbmNlZGUgYW8gUmVwb3NpdMOzcmlvIEluc3RpdHVjaW9uYWwgZGEgVW5pdmVyc2lkYWRlIEZlZGVyYWwgZGEgQmFoaWEgCm8gZGlyZWl0byBkZSBtYW50ZXIgdW1hIGPDs3BpYSBlbSBzZXUgcmVwb3NpdMOzcmlvIGNvbSBhIGZpbmFsaWRhZGUsIHByaW1laXJhLCBkZSBwcmVzZXJ2YcOnw6NvLiAKRXNzZXMgdGVybW9zLCBuw6NvIGV4Y2x1c2l2b3MsIG1hbnTDqm0gb3MgZGlyZWl0b3MgZGUgYXV0b3IvY29weXJpZ2h0LCBtYXMgZW50ZW5kZSBvIGRvY3VtZW50byAKY29tbyBwYXJ0ZSBkbyBhY2Vydm8gaW50ZWxlY3R1YWwgZGVzc2EgVW5pdmVyc2lkYWRlLgoKIFBhcmEgb3MgZG9jdW1lbnRvcyBwdWJsaWNhZG9zIGNvbSByZXBhc3NlIGRlIGRpcmVpdG9zIGRlIGRpc3RyaWJ1acOnw6NvLCBlc3NlIHRlcm1vIGRlIGxpY2Vuw6dhIAplbnRlbmRlIHF1ZToKCiBNYW50ZW5kbyBvcyBkaXJlaXRvcyBhdXRvcmFpcywgcmVwYXNzYWRvcyBhIHRlcmNlaXJvcywgZW0gY2FzbyBkZSBwdWJsaWNhw6fDtWVzLCBvIHJlcG9zaXTDs3Jpbwpwb2RlIHJlc3RyaW5naXIgbyBhY2Vzc28gYW8gdGV4dG8gaW50ZWdyYWwsIG1hcyBsaWJlcmEgYXMgaW5mb3JtYcOnw7VlcyBzb2JyZSBvIGRvY3VtZW50bwooTWV0YWRhZG9zIGVzY3JpdGl2b3MpLgoKIERlc3RhIGZvcm1hLCBhdGVuZGVuZG8gYW9zIGFuc2Vpb3MgZGVzc2EgdW5pdmVyc2lkYWRlIGVtIG1hbnRlciBzdWEgcHJvZHXDp8OjbyBjaWVudMOtZmljYSBjb20gCmFzIHJlc3RyacOnw7VlcyBpbXBvc3RhcyBwZWxvcyBlZGl0b3JlcyBkZSBwZXJpw7NkaWNvcy4KCiBQYXJhIGFzIHB1YmxpY2HDp8O1ZXMgc2VtIGluaWNpYXRpdmFzIHF1ZSBzZWd1ZW0gYSBwb2zDrXRpY2EgZGUgQWNlc3NvIEFiZXJ0bywgb3MgZGVww7NzaXRvcyAKY29tcHVsc8OzcmlvcyBuZXNzZSByZXBvc2l0w7NyaW8gbWFudMOqbSBvcyBkaXJlaXRvcyBhdXRvcmFpcywgbWFzIG1hbnTDqm0gYWNlc3NvIGlycmVzdHJpdG8gCmFvIG1ldGFkYWRvcyBlIHRleHRvIGNvbXBsZXRvLiBBc3NpbSwgYSBhY2VpdGHDp8OjbyBkZXNzZSB0ZXJtbyBuw6NvIG5lY2Vzc2l0YSBkZSBjb25zZW50aW1lbnRvCiBwb3IgcGFydGUgZGUgYXV0b3Jlcy9kZXRlbnRvcmVzIGRvcyBkaXJlaXRvcywgcG9yIGVzdGFyZW0gZW0gaW5pY2lhdGl2YXMgZGUgYWNlc3NvIGFiZXJ0by4KRepositório InstitucionalPUBhttp://192.188.11.11:8080/oai/requestopendoar:19322022-03-10T17:55:06Repositório Institucional da UFBA - Universidade Federal da Bahia (UFBA)false
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