Uniqueness and stability of hypersurfaces in Semi-Riemannian Spaces.

• Autor(a) principal: OLIVEIRA, Arlandson Matheus Silva.
• Data de Publicação: 2018
• Tipo de documento: Tese
• Idioma: por
• Título da fonte: Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFCG
• Texto Completo: http://dspace.sti.ufcg.edu.br:8080/jspui/handle/riufcg/28223
• topic: Produtos warped; Variedades com peso; Imersões isométricas; Hipersuperfícies; Princípios do máximo; Espaços L𝑝; Probabilidade; Formas espaciais; Espaço hiperbólico; Espaço De Sitter; (r,s,a,b)-estabilidade; Esferas-Riemannianos; Função warping; Warped products; Varieties with weight; Isometric immersions; Hypersurfaces; Principles of maximum; L𝑝 spaces; Probability; Spatial forms; Hyperbolic space; Sitter Space; (r,s,a,b)-stability; Spheres-Riemannians; Warping function

Esta tese está dividido em duas partes independentes. Na primeira parte, estudamos a geometria de imersóes de variedades de dimensão n em ambientes semi-riemannianos. Os espaços-ambiente consistem em produtos warped de um intervalo aberto da reta e de uma variedade riemanniana de dimensão n (chamada fibra), em que a função warping está definida no intervalo, e são munidos de uma função peso que não depende do parâmetro do intervalo. Tal ambiente é naturalmente folheado por folhas totalmente umbílicas, chamadas slices, que são isométricas à fibra do ambiente. Munidas da métrica riemanniana induzida pelo tensor métrico do ambiente, as variedades imersas são também chamadas hipersuperícies (tipo-espaço no caso de o ambiente ser lorentziano). O objetivo da primeira parte é estudar certas condições suficientes, obtidas da interação das geometrias de uma dada hipersuperfície e do ambiente com a função peso, para garantir que a hipersuperfície ´e um slice do ambiente. Para isso, aplicamos uma série de resultados analíticos às funções peso e altura de uma hipersuperfície, tais como princípios do máximo, condições envolvendo os espaços Lp e critérios de parabolicidade. Na segunda parte, consideramos o problema variacional de minimizar o funcional s-área mantendo constante um funcional definido por uma combinação do funcionais r-área e balanço de volume. Os pontos críticos desse problema são as hipersuperfícies tais que uma dada razão entre suas funções simétricas de ordem r e s (ou entre as curvaturas médias de ordem superior correspondentes) ´e constante, o que nos leva à noção de(r, s, a, b)-estabilidade (forte ou não). Sob ceras condições geométricas e considerando que uma constante que aparece quando encontramos a segunda variação do funcional de Jacobi desse problema variacional não-positiva, mostramos que as esferas geodésicas são as únicas hipersuperfícies fechadas (r, s, a, b)-estáveis das formas espaciais e fortemente (r, s, a, b)-estáveis do espaço hiperbólico e que as esferas redondas totalmente umbílicas são as únicas hipersuperfícies fortemente (r, s, a, b)-estáveis do espaço de De Sitter.