Sobre hipersuperfÃcies mÃnimas, aplicaÃÃes do princÃpio do mÃximo fraco e de teoremas tipo-Liouville
Autor(a) principal: | |
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Data de Publicação: | 2015 |
Tipo de documento: | Tese |
Idioma: | por |
Título da fonte: | Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFC |
Texto Completo: | http://www.teses.ufc.br/tde_busca/arquivo.php?codArquivo=15135 |
Resumo: | In this work we approach four research lines, where we began with the study of isometrically immersed hypersurfaces in a horoball. Next we studied Liouville type theorems in a complete Riemannian manifold for general operators. After we studied hypersurfaces f-minimal closed on a manifold with density, and nally we studied properly embedded minimal hypersurfaces with free boundary in a n-dimensional compact Riemannian manifold. Continuing, we obtain under a more general class operator than '-Laplacian, a Liouville type theorem for a complete Riemannian manifold, so that, prove a classication theorem for Killing graph of a foliation. Firstly, we are going to assume a weak maximum principle and that immersion is contained in a horoball, i.e., the set of bounded above Bussemann functions . We obtain an estimate for the highest quotient of r-curvatures. Moreover, under certain conditions on sectional curvature and assuming that the immersion is contained in a horoball, we forced the validity of the weak maximum principle and obtain the same estimates. Next, we establish a Choi-Wang type estimate for the rst eigenvalue of the weighter Laplacian on spaces with density in responding partially to Yau's conjecture for the rst eigenvalue weighter Laplacian for spaces with density, and moreover, we obtain an inequality Poincare type. With the estimates obtained, we establish an estimate of volume for a closed surface immersed in a space with density. Still following the study of spaces with density, we obtain a type Hientze-Karcher inequality for a compact manifold with nonempty boundary , so that, we obtain that if holds the equality than the manifold is isometric to a Euclidian ball. As consequence, we obtain under same conditions that if the f-mean curvature satisfy a bounded below than the manifold is isometric to a Euclidian ball. Finally, we obtain an estimate for the nonzero rst Steklov eigenvalue, where we are giving a answer partial to a conjecture by Fraser and Li. Moreover, as a consequence we establish an estimate for the total length of the boundary of the properly embedded minimal surfaces with free boundary in terms of its topology, thus, we proved the same when the surface is embedded in the Euclidean ball 3-dimensional. |
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info:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/doctoralThesisSobre hipersuperfÃcies mÃnimas, aplicaÃÃes do princÃpio do mÃximo fraco e de teoremas tipo-Liouville On minimum hypersurfaces, application of the principle of maximum and weak theorems type-Liouville2015-03-13Gregorio Pacelli Feitosa Bessa20969295391Antonio Caminha Muniz Neto46191070349http://lattes.cnpq.br/5282912733531690AbdÃnago Alves de Barros12712647491http://lattes.cnpq.br/9335188048662483CÃcero Pedro de Aquino85463620334CÃcero Pedro de Barnabà Pessoa Lima13890573304http://lattes.cnpq.br/023038186758407066240417300 http://lattes.cnpq.br/0231873732919661Antonio Wilson Rodrigues da CunhaUniversidade Federal do CearÃPrograma de PÃs-GraduaÃÃo em MatemÃticaUFCBRcurvatura de ordem superior teoremas tipo Liouville hipersuperficies f-mÃnimas superfÃcies mÃnimas propriamente imersas com bordo livreestimativa de curvaturacurvature of a higher order Liouville type theorems hypersurfaces f-minimum minimal surfaces properly immersed with freeboardGEOMETRIA DIFERENCIALIn this work we approach four research lines, where we began with the study of isometrically immersed hypersurfaces in a horoball. Next we studied Liouville type theorems in a complete Riemannian manifold for general operators. After we studied hypersurfaces f-minimal closed on a manifold with density, and nally we studied properly embedded minimal hypersurfaces with free boundary in a n-dimensional compact Riemannian manifold. Continuing, we obtain under a more general class operator than '-Laplacian, a Liouville type theorem for a complete Riemannian manifold, so that, prove a classication theorem for Killing graph of a foliation. Firstly, we are going to assume a weak maximum principle and that immersion is contained in a horoball, i.e., the set of bounded above Bussemann functions . We obtain an estimate for the highest quotient of r-curvatures. Moreover, under certain conditions on sectional curvature and assuming that the immersion is contained in a horoball, we forced the validity of the weak maximum principle and obtain the same estimates. Next, we establish a Choi-Wang type estimate for the rst eigenvalue of the weighter Laplacian on spaces with density in responding partially to Yau's conjecture for the rst eigenvalue weighter Laplacian for spaces with density, and moreover, we obtain an inequality Poincare type. With the estimates obtained, we establish an estimate of volume for a closed surface immersed in a space with density. Still following the study of spaces with density, we obtain a type Hientze-Karcher inequality for a compact manifold with nonempty boundary , so that, we obtain that if holds the equality than the manifold is isometric to a Euclidian ball. As consequence, we obtain under same conditions that if the f-mean curvature satisfy a bounded below than the manifold is isometric to a Euclidian ball. Finally, we obtain an estimate for the nonzero rst Steklov eigenvalue, where we are giving a answer partial to a conjecture by Fraser and Li. Moreover, as a consequence we establish an estimate for the total length of the boundary of the properly embedded minimal surfaces with free boundary in terms of its topology, thus, we proved the same when the surface is embedded in the Euclidean ball 3-dimensional. Neste trabalho, abordamos quatro linhas de estudo, onde iniciamos com o estudo de hipersuperfcies isometricamente imersas sobre uma horobola. Em seguida estudamos Teoremas tipo Liouville para uma variedade Riemanniana completa em operadores mais gerais que o Laplaciano. Alem disso, estudamos hipersuperfcies f-mÃnimas fechadas em uma variedade com densidade e, por fim, estudamos hipersuperfÃcies mÃnimas com bordo livre, propriamente imersas em uma variedade Riemanniana compacta n-dimensional. Primeiramente, assumindo um princpio do maximo fraco e que a imersÃo està contida em uma horobola, i.e., um conjunto em que a funcÃo de Busemann à limitada superiormente, obtemos uma estimativa para o supremo do quociente das r-Ãsimas curvaturas. AlÃm disso, sob certas condiÃÃes sobre as curvaturas seccionais e assumindo que a imersÃo està contida em uma horobola, forÃamos a validade do princÃpio do mÃximo fraco e obtemos as mesmas estimativas. Prosseguindo, obtemos, para um operador mais geral que o '-Laplaciano, um teorema tipo-Liouville para uma variedade Riemanniana completa. Como aplicaÃÃo provamos um teorema de classificaÃÃo para grÃficos de Killing de uma folheaÃÃo. Em seguida, estabelecemos uma estimativa tipo Choi e Wang para o primeiro autovalor do f-Laplaciano em espaÃos com densidade, no sentido de responder parcialmente à conjectura de Yau para o primeiro autovalor do Laplaciano; alÃm disso, obtemos uma desigualdade tipo Poincarà para esse operador. Com a estimativa obtida, pudemos estabelecer uma estimativa de volume para uma superfÃcie fechada mergulhada em um espaÃo com densidade. Ainda seguindo o estudo de espaÃos com densidade, obtemos uma desigualdade tipo Heintze-Karcher para uma variedade compacta com bordo e verificamos que, se vale a igualdade, entÃo a variedade à isomÃtrica a uma bola Euclidiana. Como consequÃncia, obtemos que, nas mesmas condiÃÃes, e se a f-curvatura mÃdia satisfizer uma certa limitaÃÃo inferior, entÃo a variedade ainda à isometrica a uma bola Euclidiana. Finalmente, obtemos uma estimativa para o primeiro autovalor de Steklov, dando uma resposta parcial a uma conjectura devida a Fraser e Li. AlÃm disso, como consequÃncia, estabelecemos uma estimativa para o comprimento do bordo de uma superfÃcie mÃnima, compacta e propriamente megulhada com bordo livre em termos de sua topologia; assim, provamos o mesmo resultado quando a superfÃcie està mergulhada em uma bola Euclidiana 3-dimensional. CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgicohttp://www.teses.ufc.br/tde_busca/arquivo.php?codArquivo=15135application/pdfinfo:eu-repo/semantics/openAccessporreponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFCinstname:Universidade Federal do Cearáinstacron:UFC2019-01-21T11:28:08Zmail@mail.com - |
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In this work we approach four research lines, where we began with the study of isometrically immersed hypersurfaces in a horoball. Next we studied Liouville type theorems in a complete Riemannian manifold for general operators. After we studied hypersurfaces f-minimal closed on a manifold with density, and nally we studied properly embedded minimal hypersurfaces with free boundary in a n-dimensional compact Riemannian manifold. Continuing, we obtain under a more general class operator than '-Laplacian, a Liouville type theorem for a complete Riemannian manifold, so that, prove a classication theorem for Killing graph of a foliation. Firstly, we are going to assume a weak maximum principle and that immersion is contained in a horoball, i.e., the set of bounded above Bussemann functions . We obtain an estimate for the highest quotient of r-curvatures. Moreover, under certain conditions on sectional curvature and assuming that the immersion is contained in a horoball, we forced the validity of the weak maximum principle and obtain the same estimates. Next, we establish a Choi-Wang type estimate for the rst eigenvalue of the weighter Laplacian on spaces with density in responding partially to Yau's conjecture for the rst eigenvalue weighter Laplacian for spaces with density, and moreover, we obtain an inequality Poincare type. With the estimates obtained, we establish an estimate of volume for a closed surface immersed in a space with density. Still following the study of spaces with density, we obtain a type Hientze-Karcher inequality for a compact manifold with nonempty boundary , so that, we obtain that if holds the equality than the manifold is isometric to a Euclidian ball. As consequence, we obtain under same conditions that if the f-mean curvature satisfy a bounded below than the manifold is isometric to a Euclidian ball. Finally, we obtain an estimate for the nonzero rst Steklov eigenvalue, where we are giving a answer partial to a conjecture by Fraser and Li. Moreover, as a consequence we establish an estimate for the total length of the boundary of the properly embedded minimal surfaces with free boundary in terms of its topology, thus, we proved the same when the surface is embedded in the Euclidean ball 3-dimensional. |
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