On (non)lineability and (non)spaceability in L1 spaces

• Autor(a) principal: Emerick, Pedro de Oliveira
• Data de Publicação: 2024
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: eng
• Título da fonte: Repositório Institucional da UFJF
• Texto Completo: https://repositorio.ufjf.br/jspui/handle/ufjf/17290
• topic: CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA; Lineabilidade; Espaçabilidade; Espaços de sequências; Espaços Lp; Lineability; Spaceability; Sequence spaces; Lp spaces

Na presente dissertação, apresentaremos métodos para a construção de conjuntos que são lineáveis ou até mesmo espaçáveis em determinados espaços de Banach. Nossa abordagem também nos permitirá exibir exemplos de conjuntos que são lineáveis, mas não espaçáveis, e conjuntos que nem sequer são lineáveis. Seja v = (vn) um elemento de ℓ1 com apenas um número finito de entradas nulas. Neste cenário discutiremos a lineabilidade (espaçabilidade) dos seguintes conjuntos: B(v) (respectivamente A0(v)) o conjunto de todos os elementos de ℓ1 onde o teste da comparação por limite com relação a v é conclusivo (respectivamente inconclusivo); X(v) o conjunto de todos os elementos de ℓ1 onde o teste da comparação padrão falha (com relação a v). Neste contexto provaremos que o conjunto A0(v) é c-denso-lineável mas não é espaçável. Por outro lado, o conjunto B(v) ∪ {0} contém apenas subespaços de dimensão 1. Além disso, nossos métodos nos permitirão concluir: (1) todo subespaço fechado de dimensão infinita de ℓ1 contém um elemento de X(v); (2) X(v) é c-denso-lineável e c-espaçável. Utilizando os resultados supracitados, provaremos que o conjunto formado pelos elementos de ℓ1 cujo teste da raiz (respectivamente razão) é inconclusivo é de fato espaçável. Também provaremos alguns resultados clássicos. Por exemplo, concluiremos que todo subespaço fechado de dimensão infinita de ℓ1 contém um elemento com infinitas entradas nulas. Ao final estenderemos alguns desses resultados para o caso L1(M), onde M é um conjunto ilimitado de um espaço vetorial normado fixo Y, e M está munido com a σ-álgebra de Borel.