O centro das álgebras envolventes universais de álgebras de Lie nilpotentes em caraterística prima

• Autor(a) principal: Vanderlei Lopes de Jesus
• Data de Publicação: 2021
• Tipo de documento: Tese
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Institucional da UFMG
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/1843/39048
• topic: Álgebras de Lie nilpotentes; Álgebra envolvente universal; Centro; Centro Poisson; Anéis Cohen-Macaulay; Matemática - Teses; Lie, Álgebra de - Teses; Grupos nilpotentes - Teses; Poisson, Distribuição de - Teses; Aneis comutativos -Teses

Seja $\mathfrak{g}$ uma álgebra de Lie de dimensão finita sobre um corpo $\mathbb{F}$ de característica prima $p$ e seja $U(\mathfrak{g})$ a álgebra envolvente universal de $\mathfrak{g}$. Sabemos da literatura que o centro $Z(\mathfrak{g})$ da álgebra envolvente $U(\mathfrak{g})$ é um domínio integralmente fechado. Nesta tese, descrevemos $Z(\mathfrak{g})$ para todas as álgebras de Lie nilpotentes indecomponíveis de dimensão menor ou igual a $6$ sobre um corpo $\mathbb{F}$ de característica prima $p$ assumindo que a classe de nilpotência $\mbox{cl}(\mathfrak{g})\leq p$. Apresentamos exemplos em que $Z(\mathfrak{g})=Z_{p}(\mathfrak{g})$, onde $Z_{p}(\mathfrak{g})$ é o $p$-centro de $U(\mathfrak{g})$. No entanto, encontramos casos em que $Z(\mathfrak{g})\neq Z_{p}(\mathfrak{g})$. Nestes casos, vamos lidar com extensões integrais $Z_{p}(\mathfrak{g})[z_{1},\ldots z_{s}]\subseteq Z(\mathfrak{g})$ onde $z_{1},\ldots, z_{s}\in Z(\mathfrak{g})\setminus Z_{p}(\mathfrak{g})$. Nas condições em que $Z_{p}(\mathfrak{g})[z_{1},\ldots z_{s}]\subseteq Z(\mathfrak{g})$ é uma extensão integral cujos corpos de frações coincidem, para ocorrer a igualdade $Z_{p}(\mathfrak{g})[z_{1},\ldots z_{s}]=Z(\mathfrak{g})$, é suficiente que $Z_{p}(\mathfrak{g})[z_{1},\ldots z_{s}]$ seja um domínio integralmente fechado. Boa parte de nosso trabalho é mostrar essa propriedade. Nesse ponto, precisamos dos conceitos de anéis regulares e anéis Cohen-Macaulay. Denotamos por $S(\mathfrak{g})$ a álgebra simétrica de $\mathfrak{g}$. Em característica zero, os espaços $U(\mathfrak{g})$ e $S(\mathfrak{g})$ são $\mathfrak{g}$-módulos isomorfos com respeito a representação adjunta. O conjunto de invariantes do $\mathfrak{g}$-módulo $U(\mathfrak{g})$ é o seu centro $Z(\mathfrak{g})$ e o conjunto de invariantes do $\mathfrak{g}$-módulo $S(\mathfrak{g})$ é denotado por $S(\mathfrak{g})^{\mathfrak{g}}$. Nesta tese, também, explicitamos a álgebra de invariantes $S(\mathfrak{g})^{\mathfrak{g}}$ para todas as álgebras de Lie nilpotentes indecomponíveis de dimensão menor ou igual a $6$ sobre um corpo $\mathbb{F}$ de característica prima $p$ com $\mbox{cl}(\mathfrak{g})\leq p$. Bem como, mostramos a incidência de um isomorfismo de álgebras entre $Z(\mathfrak{g})$ e $S(\mathfrak{g})^{\mathfrak{g}}$. Particularmente, determinamos $Z(\mathfrak{g})$ e $S(\mathfrak{g})^{\mathfrak{g}}$ para as álgebras de Lie standard filiform de dimensão até $6$ em característica prima $p$. Para essas álgebras, em geral, não é uma tarefa fácil determinar geradores explicitos para $Z(\mathfrak{g})$ e $S(\mathfrak{g})^{\mathfrak{g}}$ por causa da complexidade de seus geradores e suas relações.