A transição de fase para modelos de percolação Bootstrap

• Autor(a) principal: Claudia Raquel Martins Correa
• Data de Publicação: 2008
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Institucional da UFMG
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/1843/EABA-7EMSSB
• topic: percolação; Matemática

Os modelos de Percolação de Bootstrap são modelos de percolação de sítio dinâmicos que surgiram a partir da relação entre alguns modelos da mecânica estatística (Modelos de Ising e Dinâmica de Glauber) e a percolação. A dinâmica desses modelos tem início a partir de uma configuração de sítios vazios ou ocupados da rede hipercúbica dimensional onde os sítios ocupados são distribuídos de acordo com a medida produto de Bernoulli com parâmetro p. As atualizações são realizadas em unidades de tempo discreto da seguinte forma: os sítios ocupados permanecem ocupados e os vazios se tornam ocupados de acordo com a configuração de seus vizinhos. No modelo que estudaremos, um sítio se torna ocupado quando pelo menos q de seus vizinhos estão ocupados. No próximo capítulo definiremos de maneira formal esses modelos. Uma das primeiras questões levantadas ´e a determinação do comportamento crítico e a análise da evolução desses modelos com a mudança de valores do parâmetro p. Mais precisamente, busca-se determinar a densidade inicial a partir da qual todos os sítios da rede hipercúbica -dimensional se tornam, em algum momento, ocupados. Uma das principais ferramentas que usaremos para analisar este fenômeno ´e um procedimento de renormalização, através do qual comparamos diferentes valores de parâmetros quando modificamos as escalas de tempo e tamanho linear da rede. Denotaremos esta densidade crítica por pc. Em um período em que não havia resultados rigorosos sobre esses modelos, foram realizadas simulações na tentativa de determinar pc. Para um apanhado histórico dessas simulações, ver [1, 10]. Naturalmente, apesar do sistema ser infinito, simulações só podem ser realizadas em sistemas finitos. Considere um cubo de tamanho linear L e seja pL 50 a mais baixa concentração inicial tal que o cubo ´e inteiramente ocupado em pelo menos metade das simulações. A princípio, pL50 tende a pc quando L tende a infinito, ou seja, pL 50 -pc = F(L) = o(1). Deve-se, então, fazer uma hipótese de como ´e a função F(L) (em inglês, finite size scaling). Baseando-se na escala do tamanho finito utilizada para transições de fase de segunda ordem em sistemas térmicos, assumia-se que