Dois resultados em bilhares em superfícies com curvatura constante

• Autor(a) principal: Cláudia Pires Ferreira
• Data de Publicação: 2020
• Tipo de documento: Tese
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Institucional da UFMG
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/1843/34607
• topic: bilhares convexos; superfícies com curvatura constante; expoente de Lyapunov; entropia polinomial; Matemática – Teses; Superficies de curvatura constante – Teses; Liapunov, Funções de – Teses.

Neste trabalho estendemos alguns resultados sobre bilhares planos ao plano hiperbólico e a um hemisfério da esfera. Na primeira parte consideramos o bilhar definido na região delimitada por uma curva fechada e geodesicamente estritamente convexa. Estudando a entropia polinomial desses bilhares provamos que a aplicação do bilhar circular tem entropia polinomial igual a 1, enquanto que os outros bilhares têm entropia polinomial >=2. Em particular, provamos que o bilhar elíptico e não circular tem entropia polinomial igual a 2. As principais ferramentas utilizadas foram a integrabilidade dos bilhares circulares e elípticos em superfícies com curvatura constante, a propriedade Twist destes bilhares e uma generalização das técnicas aplicadas por Marco [27] para calcular entropia polinomial. Na segunda parte do trabalho, consideramos bilhares em mesas tipo estádios focalizadores e mostramos que, quando as partes focalizadoras são ligadas por segmentos geodésicos suficientemente longos, a aplicação de bilhar tem expoente de Lyapunov positivo em quase todo ponto. As principais ferramentas utilizadas foram uma versão do Teorema de Wojtkowski [40] do método dos campos de cones e uma generalização da construção dos campos de cones apresentadas por Donnay [14]. Finalizamos esta parte estudando o bilhar no estádio circular no plano hiperbólico.