The Kurosh Subgroup Theorem for profinite groups
Autor(a) principal: | |
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Data de Publicação: | 2019 |
Tipo de documento: | Dissertação |
Idioma: | por |
Título da fonte: | Repositório Institucional da UFMG |
Texto Completo: | http://hdl.handle.net/1843/31756 |
Resumo: | A profinite graph is a profinite space with a graph structure, i.e., a closed set named the vertex set and two continuous incidence maps d0; d1 V (). A profinite group G can act on a profinite graph and G is called the quotient graph by the action of G. If G acts freely, the map G is called a Galois covering of the profinite graph and the group G the associated group of this Galois covering. We can also define a universal Galois covering, where the associated group with this covering is the fundamental group of the profinite graph , denoted by C1 . We give an original proof of the Nielsen-Schreier Theorem for free profinite groups over a finite space, which states that every open profinite subgroup of a free profinite group on a finite space is a free profinite subgroup on a finite space using these aforementioned structures. We also define a sheaf of pro-C groups, the free pro-C product of a sheaf and use it to define a graph of pro-C groups and the fundamental group of a graph of pro-C groups in a similar manner we did previously. The analogue of the universal Galois covering is named the standard graph, denoted by SC(G;). Finally we show that the free product of pro-C groups can be seen as the fundamental group of a graph of pro-C groups and use this fact to prove the Kurosh Subgroup Theorem for profinite groups, the main result of this thesis. |
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John William MacQuarriehttp://lattes.cnpq.br/7878226069423105Ana Cristina VieiraVictor Guerassimovhttp://lattes.cnpq.br/4012001860532680Mattheus Pereira da Silva Aguiar2020-01-08T16:27:06Z2020-01-08T16:27:06Z2019-07-11http://hdl.handle.net/1843/31756A profinite graph is a profinite space with a graph structure, i.e., a closed set named the vertex set and two continuous incidence maps d0; d1 V (). A profinite group G can act on a profinite graph and G is called the quotient graph by the action of G. If G acts freely, the map G is called a Galois covering of the profinite graph and the group G the associated group of this Galois covering. We can also define a universal Galois covering, where the associated group with this covering is the fundamental group of the profinite graph , denoted by C1 . We give an original proof of the Nielsen-Schreier Theorem for free profinite groups over a finite space, which states that every open profinite subgroup of a free profinite group on a finite space is a free profinite subgroup on a finite space using these aforementioned structures. We also define a sheaf of pro-C groups, the free pro-C product of a sheaf and use it to define a graph of pro-C groups and the fundamental group of a graph of pro-C groups in a similar manner we did previously. The analogue of the universal Galois covering is named the standard graph, denoted by SC(G;). Finally we show that the free product of pro-C groups can be seen as the fundamental group of a graph of pro-C groups and use this fact to prove the Kurosh Subgroup Theorem for profinite groups, the main result of this thesis.A teoria de Bass-Serre para grafos abstratos foi inaugurada no livro ’Arbres, amalgames, SL2’ (’Trees’ na versão em inglês), escrito por Jean-Pierre Serre em colaboração com Hyman Bass (1977). A motivação original do Serre era entender a estrutura de certos grupos algébricos cujas construções Bruhat-Tits são árvores. No entanto, a teoria rapidamente se tornou uma ferramenta padrão para a teoria geométrica de grupos e a topologia geométrica, particularmente no estudo de 3-variedades. Um trabalho posterior de Bass contribuiu substancialmente para a formalização e o desenvolvimento das ferramentas básicas e atualmente o termo teoria de Bass-Serre é amplamente empregado para descrever a disciplina. Essa teoria busca explorar e generalizar as propriedades de duas construções já bem conhecidas da teoria grupos: produto livre com amalgamação e extensões HNN. No entanto, ao contrário dos estudos algébricos tradicionais dessas duas estruturas, a teoria de Bass-Serre utiliza a linguagem geométrica de espaços de recobrimento e grupos fundamentais. O análogo profinito iniciou em Gildenhuys e Ribes (1978) onde o nome booleano foi utilizado. O objetivo era construir um paralelo entre a teoria de Bass-Serre de grupos abstratos agindo sobre árvores abstratas para grupos profinitos e aplicações em grupos abstratos. O Crecobrimento galoisiano universal de um grafo conexo também foi definido nesse artigo de Gildenhuys e Ribes (1978). Haran (1987) e Mel’nikov (1989) expandiram essas ideias de maneira independente e desenvolveram abordagens gerais para produtos livres de grupos profinitos indexados por um espaço profinito. O objetivo deles era ser capaz de descrever a estrutura de pelo menos certos subgrupos fechados de produtos pro-p livres de grupos pro-p, demonstrando uma versão profinita do Teorema do Subgrupo de Kurosh, que é o teorema principal dessa dissertação. Os artigos de Haran e Mel’nikov obtém resultados similares. Nesse texto, adotamos a elegante versão de Mel’nikov. As primeiras seções do capítulo 4 são baseadas em Zalesskii e Mel’nikov (1989). O primeiro capítulo dessa dissertação estabelece esse contexto histórico do desenvolvimento da teoria de grafos profinitos. O segundo inicia com a definição de limite inverso com algumas de suas propriedades, o que nos possibilita definir um espaço profinito, que surge como o limite inverso de espaços topológicos finitos, cada um com a topologia discreta.Fornecidas tais definições básicas, definimos um grafo profinito, que é um espaço profinito com estrutura de grafo. O espaço de vértices é um subspaço fechado (logo também profinito) e as aplicações de incidência são aplicações contínuas (no ponto de vista topológico), do espaço todo para o espaço dos vértices. Então definimos um q-morfismo de grafos profinitos, que é uma generalização do morfismo usual de grafos abstratos, pois permite que arestas sejam mapeadas em vértices. Em seguida definimos ação de grupos profinitos em garfos profinitos e o grafo quociente pela ação de um grupo profinito G, que é o espaço das órbitas pela ação de G e como um exemplo construímos o grafo de Cayley de um grupo profinito. No terceiro capítulo introduzimos o conceito de recobrimento galoisiano e do Crecobrimento galoisiano, que é uma aplicação ζ ∶ Γ → ∆ = G/Γ de um grafo profinito Γ no grafo quociente pela ação do grupo profinito G, ∆. O grupo profinito G é dito o grupo associado ao recobrimento galoisiano. Definimos então morfismos de recobrimentos galoisianos e o conceito de C-recobrimento galoisiano universal, cujo grupo associado é o grupo fundamental π C 1 (Γ) do grafo conexo Γ. Em seguida estabelecemos condições para que 0-seções e 0-transversais existam e a construção dos recobrimentos galoisianos universais. Terminamos o capítulo apresentando dois exemplos importantes: 3.4.5, 3.4.6 e uma demonstração original da versão profinita do Teorema de Nielsen-Schreier (quando o espaço profinito é finito), cujo enunciado estabelece que todo subgrupo aberto de um grupo profinito livre é profinito livre em um espaço finito. Esse teorema é demonstrado em [2], do artigo de Binz, Neukirch e Wenzel [1971] e utiliza a versão abstrata. Ribes e Steinberg (2010) deram uma nova demonstração sem utilizar a versão abstrata, através de produtos entrtelaçados, mas não é tão simples quanto a apresentada nessa dissertação. A abordagem também é completamente diferente. O último capítulo contém os principais tópicos dessa dissertação: a definição de um feixe de pro-C grupos, o produto livre de um feixe de pro-C grupos, grafos de pro-C grupos e especializações, o grupo fundamental de um grafo de pro-C grupos, o grafo padrão de um grafo de pro-C grupos e o Teorema de Kurosh, que estabelece: Theorem 1 (Kurosh). Seja C uma pseudo-variedade de grupos finitos fechada para extensão. Seja G = ∐n i=1 Gi o produto pro-C livre de um número finito de grupos pro-C Gi. Se H é um subgrupo aberto de G, então H = n∐i=1∐τ∈H/G/Gi(H ∩ gi,τGig−1i,τ ) ∐ F é um produto pro-C livre de grupos H ∩ gi,τGig−1 i,τ , onde, cada i = 1,⋯, n, gi,τ varia sobre um sistema de representantes das classes laterais duplas H/G/Gi , e F é um grupo pro-C livre de posto finito rF ,rF = 1 − t +n∑i=1(t − ti),onde t = [G ∶ H] e ti = ∣H/G/Gi∣. A ideia da demonstração é baseada em enxergar o produto livre de um úmero finito de grupos pro-C como o grupo fundamental de um grafo de pro-C grupos em que todos os grupos de aresta são triviais e H age sobre o grafo padrão de pro-C grupos.porUniversidade Federal de Minas GeraisPrograma de Pós-Graduação em MatemáticaUFMGBrasilICX - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/pt/info:eu-repo/semantics/openAccessGrupos profinitosGalois, Teoria deTeoria dos gruposGrupos fundamentais (Matemática).Teoria dos grafosProfinite graphsProfinite groupsGalois coveringsFundamental groupNielsen- SchreierGraph of pro-C groupsKuroshThe Kurosh Subgroup Theorem for profinite groupsinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesisreponame:Repositório Institucional da UFMGinstname:Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)instacron:UFMGORIGINALMattheus.pdfMattheus.pdfAbertoapplication/pdf589938https://repositorio.ufmg.br/bitstream/1843/31756/1/Mattheus.pdfe5acec8c800ab4bc3af4ba9e54eaf938MD51CC-LICENSElicense_rdflicense_rdfapplication/rdf+xml; charset=utf-8811https://repositorio.ufmg.br/bitstream/1843/31756/2/license_rdfcfd6801dba008cb6adbd9838b81582abMD52LICENSElicense.txtlicense.txttext/plain; charset=utf-82119https://repositorio.ufmg.br/bitstream/1843/31756/3/license.txt34badce4be7e31e3adb4575ae96af679MD53TEXTMattheus.pdf.txtMattheus.pdf.txtExtracted texttext/plain123694https://repositorio.ufmg.br/bitstream/1843/31756/4/Mattheus.pdf.txt227abdaa085dae1030ac4b430a5a9688MD541843/317562020-01-09 03:01:14.045oai:repositorio.ufmg.br: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Repositório de PublicaçõesPUBhttps://repositorio.ufmg.br/oaiopendoar:2020-01-09T06:01:14Repositório Institucional da UFMG - Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)false |
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