Splittings of profinite groups and its applications
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| Data de Publicação: | 2023 |
| Tipo de documento: | Tese |
| Idioma: | eng |
| Título da fonte: | Repositório Institucional da UnB |
| Texto Completo: | http://repositorio2.unb.br/jspui/handle/10482/49669 |
Resumo: | Tese (doutorado) — Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2023. |
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Splittings of profinite groups and its applicationsGrupos profinitosTeoria combinatória de gruposTese (doutorado) — Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2023.Nessa tese estudamos um dos principais objetos da teoria combinatória de grupos profinitos: decomposições de grupos profinitos como extensões HNN ou produtos livres amalgamados. Respondemos três problemas em aberto propostos por Luis Ribes em seu livro de 2017 "Profinite Graphs and Groups" (veja Open Questions 6.7.1, 15.11.10 e 15.11.11 de [31]). Esses resultados generalizam os teoremas principais de [7] e [45]. Também generalizamos a versão pro-p do célebre Teorema da decomposição de Stallings para decomposições sobre grupos pro-p infinitos. Essa construção estende consideravelmente o resultado de Weigel-Zalesski de 2017 e não possui correspondente no caso abstrato. Por fim, mostramos que a acessibilidade generalizada de grupos pro-p finitamente gerados é fechada para comensurabilidade. Produtos amalgamados profinitos e extensões HNN profinitas podem ser considerados casos particulares de um grupo fundamental de grafo de grupos, o qual denotaremos por Π1pG, Γq. Dessa forma, se dado grupo profinito G possui uma decomposição G “ Π1pG, Γq para algum grafo profinito de grupos pG, Γq, obtemos não só propriedades do grupo G mas também de grafo de grupos pG, Γq. Na primeira parte, dado um grupo abstrato G que se decompõe como o grupo fundamental de um grafo infinito de grupos, construímos um grafo profinito de grupos pG, Γq tal que Γ mergulha em Γ e o completamento profinito de G se decompõe como Gp “ Π1pG, Γq. Isso responde um Problema em Aberto de Ribes. Com essa construção em mãos, respondemos dois outros Problemas em Aberto de Ribes. O primeiro está relacionado com o fecho de normalizadores e generaliza o teorema principal de um artigo escrito por Ribes e Zalesski (cf. [34]). O segundo está relacionado com a separabilidade por conjugação de subgrupo de grupos virtualmente livres, generalizando o resultado principal de um artigo escrito por Chagas e Zalesski (cf. [7]). Nossa estratégia para resolver os problemas supracitados foi descrever o grupo fundamental profinito de um grafo de grupos na linguagem de caminhos. Essa nova definição se comporta bem quando da aplicação de limites inversos, o que facilita a interrelação entre as configurações abstrata e profinita da Teoria de Bass-Serre. Continuamos nossa jornada investigando o célebre Teorema da Decomposição de Stallings. Este estabelece que a decomposição de um subgrupo H de índice finito de um grupo finitamente gerado G como um produto livre amalgamado ou uma extensão HNN sobre um grupo finito implica o mesmo para G. A versão pro-p desse resultado foi obtida por Weigel e Zalesski (cf. [45]) em 2017. Nós mostramos que, na categoria de grupos pro-p, os teoremas de decomposição valem além de cisões sobre grupos finitos. Se G é um grupo pro-p finitamente gerado que possui um subgrupo normal aberto H que se decompões como H “ Π1pH, ∆q, e supomos que classes de conjugação de grupos de vértices são G-invariantes, então G também se decompõe como G “ Π1pG, Γq (cf. Teorema 11). Se H é um produto pro-p livre não trivial obtemos, como um caso particular, o Teorema de Weigel-Zalesski supracitado. A principal ferramenta por trás da demonstração é nosso Teorema da Limitação, que estabelece um limitante para EpΓq, a saber |EpΓq| ď |Ep∆q|. Acrescentamos ao nosso Teorema da Limitação o seguinte resultado: se G é um grupo pro-p finitamente gerado que possui um subgrupo normal aberto H agindo sobre uma árvore pro-p T, com tHv | v P V pTqu sendo G-invariante, então G se decompõe como G “ Π1pG, Γq. Com esses resultados em mãos, obtemos uma poderosa aplicação: a acessibilidade generalizada de grupos pro-p finitamente gerados é fechada para comensurabilidade. Finalizamos a tese mostrando que nosso Teorema 9 também vale para o exemplo de grupo pro-p inacessível dado por Wilkes.Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES).In this thesis we study one of the main objects in profinite combinatorial group theory: splittings of profinite groups as HNN-extensions or amalgamated free products. We answer three Open Questions proposed by Luis Ribes in his 2017 book "Profinite Graphs and Groups" (see Open Questions 6.7.1, 15.11.10, and 15.11.11 of [31]). These results generalize the main Theorems of [7] and [34]. We also generalize the pro-p version of the celebrated Stallings’ decomposition theorem to splittings over infinite pro-p groups. This extends by far the Weigel-Zalesski result from 2017 and it does not have any abstract analogs. Finally we prove that generalized accessibility of finitely generated pro-p groups is closed for commensurability. Profinite amalgamated products and profinite HNN-extensions can be considered as particular cases of profinite fundamental groups of graphs of groups, which we denote by Π1pG, Γq. Hence, if a profinite group G has a splitting G “ Π1pG, Γq for some profinite graph of groups pG, Γq, we obtain not only properties of the group G but also properties of the graph of groups pG, Γq. In the first part, given an abstract group G that splits as the fundamental group of an infinite graph of groups, we construct a profinite graph of groups pG, Γq such that Γ embeds in Γ and the profinite completion of G splits as Π1pG, Γq. This answers an Open Question of Ribes. With this construction in hand, we answer two more Open Questions of Ribes. The first concerns the closure of normalizers, which generalizes the main Theorem of a paper by Ribes and Zalesski (cf. [34]). The second is related to subgroup conjugacy separability of virtually free groups, generalizing the main Theorem of a paper by Chagas and Zalesski (cf. [7]). Our strategy for solving the problems above is to describe the profinite fundamental group of a graph of groups in the language of paths. Since it behaves very well via inverse limits, it facilitates the interrelation between the abstract and the profinite settings. We continue our journey by investigating the Stallings’ decomposition Theorem. It states that the splitting of a finite index subgroup H of a finitely generated group G as an amalgamated free product or an HNN-extension over a finite group implies the same for G. The pro-p version of this result was obtained by Weigel and Zalesskii (see [45]) in 2017. We proved that, in the category of pro-p groups, splitting theorems hold beyond splittings over finite groups. In fact, if G is a finitely generated pro-p group having an open normal subgroup H that splits as H “ Π1pH, ∆q, and we suppose conjugacy classes of vertex groups are G-invariant then G also splits as G “ Π1pG, Γq (see Theorem 11). If H is a non-trivial free pro-p product we obtain, as a particular case, the aforementioned Weigel-Zalesski Theorem. The main tool behind the proof is our Limitation Theorem, which establishes a bound for EpΓq, namely |EpΓq| ď |Ep∆q|. We attach to our Limitation Theorem the following result: if G is a finitely generated pro-p group having an open normal subgroup H acting on a pro-p tree T, with tHv | v P V pTqu being G-invariant, then G splits as G “ Π1pG, Γq. With these results in hand, we provide a powerful application: generalized accessibility of finitely generated pro-p groups is closed for commensurability. We finish the thesis by showing that our Theorem 9 holds even for Wilkes’ example of a pro-p inaccessible group.Instituto de Ciências Exatas (IE)Departamento de Matemática (IE MAT)Programa de Pós-Graduação em MatemáticaZalesski, PavelAguiar, Mattheus Pereira da Silva2024-08-08T16:21:49Z2024-08-08T16:21:49Z2024-08-082023-07-14info:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/doctoralThesisapplication/pdfAGUIAR, Mattheus Pereira da Silva. Splittings of profinite groups and its applications. 2023. 123 f. Tese (Doutorado em Matemática) — Universidade de Brasília, Brasília, 2023.http://repositorio2.unb.br/jspui/handle/10482/49669engA concessão da licença deste item refere-se ao termo de autorização impresso assinado pelo autor com as seguintes condições: Na qualidade de titular dos direitos de autor da publicação, autorizo a Universidade de Brasília e o IBICT a disponibilizar por meio dos sites www.bce.unb.br, www.ibict.br, http://hercules.vtls.com/cgi-bin/ndltd/chameleon?lng=pt&skin=ndltd sem ressarcimento dos direitos autorais, de acordo com a Lei nº 9610/98, o texto integral da obra disponibilizada, conforme permissões assinaladas, para fins de leitura, impressão e/ou download, a título de divulgação da produção científica brasileira, a partir desta data.info:eu-repo/semantics/openAccessreponame:Repositório Institucional da UnBinstname:Universidade de Brasília (UnB)instacron:UNB2024-08-08T16:21:50Zoai:repositorio.unb.br:10482/49669Repositório InstitucionalPUBhttps://repositorio.unb.br/oai/requestrepositorio@unb.bropendoar:2024-08-08T16:21:50Repositório Institucional da UnB - Universidade de Brasília (UnB)false |
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