A rejeição do princípio do terceiro excluído e suas consequências na aritmética de Heyting
Autor(a) principal: | |
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Data de Publicação: | 2014 |
Tipo de documento: | Dissertação |
Idioma: | por |
Título da fonte: | Repositório Institucional da UFMG |
Texto Completo: | http://hdl.handle.net/1843/BUOS-9QHJ9B |
Resumo: | Na transição do século XIX para o século XX, a matemática conquistou desenvolvimentos importantes. Contudo, a esses desenvolvimentos, seguiu-se a descoberta de paradoxos, entre eles os conhecidos paradoxos de Russell e de Cantor, que abriram as discussões sobre os fundamentos da matemática. Estas discussões visavam encontrar uma fundação segura, livre de erros e imprecisões, para esta ciência. O Intuicionismo, uma alternativa para a matemática clássica, teve origem nas ideias construtivistas expostas pelo matemático holandês L. E. J. Brouwer, e tinha como consequência a rejeição do Princípio do Terceiro Excluído. Tal rejeição está baseada , sobretudo, na tese de que os objetos matemáticos são construções mentais e, por conseguinte, na rejeição de um âmbito suprassensível e pré-existente de entes matemáticos. Assim, o objetivo do presente trabalho é mostrar que essa tese depende do modo pelo qual Brouwer compreendia três conceitos fundamentais para a matemática, a saber, infinito, verdade e existência. A seguir, mostraremos as consequências da rejeição do terceiro excluído na aritmética. Veremos que, pelo menos no caso da aritmética, a rejeição do terceiro excluído não seria suficiente para evitar inconsistências. Discutiremos as traduções de duplas negações apresentadas por Kolmogorov, Gödel e Gentzen e, por fim, apresentaremos uma prova da equiconsistência da aritmética intuicionista e clássica. |
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Abilio Azambuja Rodrigues FilhoAntonio Mariano Nogueira CoelhoAndré da Silva PortoJackeline Nogueira Paes2019-08-14T16:27:31Z2019-08-14T16:27:31Z2014-08-05http://hdl.handle.net/1843/BUOS-9QHJ9BNa transição do século XIX para o século XX, a matemática conquistou desenvolvimentos importantes. Contudo, a esses desenvolvimentos, seguiu-se a descoberta de paradoxos, entre eles os conhecidos paradoxos de Russell e de Cantor, que abriram as discussões sobre os fundamentos da matemática. Estas discussões visavam encontrar uma fundação segura, livre de erros e imprecisões, para esta ciência. O Intuicionismo, uma alternativa para a matemática clássica, teve origem nas ideias construtivistas expostas pelo matemático holandês L. E. J. Brouwer, e tinha como consequência a rejeição do Princípio do Terceiro Excluído. Tal rejeição está baseada , sobretudo, na tese de que os objetos matemáticos são construções mentais e, por conseguinte, na rejeição de um âmbito suprassensível e pré-existente de entes matemáticos. Assim, o objetivo do presente trabalho é mostrar que essa tese depende do modo pelo qual Brouwer compreendia três conceitos fundamentais para a matemática, a saber, infinito, verdade e existência. A seguir, mostraremos as consequências da rejeição do terceiro excluído na aritmética. Veremos que, pelo menos no caso da aritmética, a rejeição do terceiro excluído não seria suficiente para evitar inconsistências. Discutiremos as traduções de duplas negações apresentadas por Kolmogorov, Gödel e Gentzen e, por fim, apresentaremos uma prova da equiconsistência da aritmética intuicionista e clássica.During the transition from the XIX to the XX century, mathematics got important developments. However, these developments were followed by the discovery of paradoxes, including the known paradoxes of Russell and Cantor, who opened the discussion on the foundations of mathematics. These discussions aimed to find a secure foundation free of errors and impreciseness for this science. The Intuitionism, an alternative to classical mathematics, was originated in the constructivist ideas exposed by the Dutch mathematician L. E. J. Brouwer, and has resulted in the rejection of the Principle Excluded Middle. This rejection is mainly based on the thesis that mathematical objects are constructs of the mind and, therefore, the rejection of one supersensible and preexisting field of mathematics entities. We aim in this work to demonstrate which that thesis depends on the way in which Brouwer includes three fundamental concepts to the mathematics, namely, infinite, truth and existence. After, we demonstrate the consequences of the rejection of Excluded Middle in arithmetic. We will see, at least in the case of arithmetic that rejection of the Excluded Middle would not be enough to avoid inconsistencies. We also discuss the translations of double negations performed by Kolmogorov, Gentzen and Gödel and, finally, we will introduce a proof of the equiconsistency of intuitionistic and classical arithmetical.Universidade Federal de Minas GeraisUFMGMatemática FilosofiaFilosofiaAritméticaInfinitoEquiconsistênciaIntuicionismoVerdadeTraduções de dupla negaçãoPrincípio do Terceiro ExcluídoExistênciaA rejeição do princípio do terceiro excluído e suas consequências na aritmética de Heytinginfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesisinfo:eu-repo/semantics/openAccessporreponame:Repositório Institucional da UFMGinstname:Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)instacron:UFMGORIGINALdisserta__o_jackeline_n_paes__a_rejei__o_do_princ_pio_do_terceiro_exclu_do_e__suas_consequencias_na_aritm_tica_de_heyting.pdfapplication/pdf1174670https://repositorio.ufmg.br/bitstream/1843/BUOS-9QHJ9B/1/disserta__o_jackeline_n_paes__a_rejei__o_do_princ_pio_do_terceiro_exclu_do_e__suas_consequencias_na_aritm_tica_de_heyting.pdf4db644da03c1cdfed8d0578b62365bd6MD51TEXTdisserta__o_jackeline_n_paes__a_rejei__o_do_princ_pio_do_terceiro_exclu_do_e__suas_consequencias_na_aritm_tica_de_heyting.pdf.txtdisserta__o_jackeline_n_paes__a_rejei__o_do_princ_pio_do_terceiro_exclu_do_e__suas_consequencias_na_aritm_tica_de_heyting.pdf.txtExtracted texttext/plain277449https://repositorio.ufmg.br/bitstream/1843/BUOS-9QHJ9B/2/disserta__o_jackeline_n_paes__a_rejei__o_do_princ_pio_do_terceiro_exclu_do_e__suas_consequencias_na_aritm_tica_de_heyting.pdf.txt5e40d2d75fa493d7b47e5eb35937177fMD521843/BUOS-9QHJ9B2019-11-14 13:08:53.563oai:repositorio.ufmg.br:1843/BUOS-9QHJ9BRepositório de PublicaçõesPUBhttps://repositorio.ufmg.br/oaiopendoar:2019-11-14T16:08:53Repositório Institucional da UFMG - Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)false |
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