A integral de Lebesgue como o completamento da integral de Riemann

• Autor(a) principal: Andrade, Renato Cândido Dutra de
• Data de Publicação: 2024
• Tipo de documento: Trabalho de conclusão de curso
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Institucional da UFPB
• Texto Completo: https://repositorio.ufpb.br/jspui/handle/123456789/30105
• topic: CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA; Matemática; Medida e integração de Lebesgue; Integral de Lebesgue; Completude do espaço das funções integráveis

Esse trabalho se prop˜oe a oferecer uma introdu¸c˜ao ao estudo da medida e integra¸c˜ao de Lebesgue. Motivamos a sua exposi¸c˜ao baseada em dois objetivos centrais. Primeiramente, construir de forma natural e motivada os conceitos abstratos da teoria da medida e integra¸c˜ao, para que o leitor iniciante possa abstrair as ideias principais e a filosofia central da teoria. Em segundo lugar, damos um enfoque especial em resolver problemas a respeito da integral, de car´ater m´etrico. Apresentamos os resultados da constru¸c˜ao da integral e da medida motivando resolver o problema da completude do espa¸co das fun¸c˜oes integr´aveis. Nesse vi´es, os resultados passeiam de propriedades operacionais b´asicas da medida e integral de Lebesgue, bem como os teoremas de convergˆencia `a resultados envolvendo completamentos de -´algebras, completamentos m´etricos e completude do espa¸co das fun¸c˜oes Lebesgue integr´aveis. Ao fim, mostramos ainda uma constru¸c˜ao que permite enxergar a extens˜ao da medida elementar para a medida de Lebesgue como um completamento m´etrico.