Introdução aos Métodos Variacionais
Autor(a) principal: | |
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Data de Publicação: | 2023 |
Tipo de documento: | Trabalho de conclusão de curso |
Idioma: | por |
Título da fonte: | Repositório Institucional da UFT |
Texto Completo: | http://hdl.handle.net/11612/4706 |
Resumo: | Esta monografia apresenta uma introdução aos Métodos Variacionais, que formam, hoje em dia, um método importante que é aplicado na área de equações diferenciais. Assim, procurou-se responder a seguinte questão norteadora: como resolver equações diferenciais ordinárias (edo) utilizando os Métodos Variacionais? Esta pesquisa tem como objetivo principal determinar condições necessárias e suficientes para que certas equações diferenciais ordinárias possuam solução via Métodos Variacionais. Para isso, inicialmente, fez-se uma breve revisão sobre medida e os espaços de Lebesgue para generalizar o conceito de integral de Riemann; a partir disso, definiram-se o conceito de derivada fraca e, em seguida, os conhecidos espaços de Sobolev. Dessa forma, nesses espaços, estabeleceu-se o que chamamos de solução fraca do funcional associado à equação dada, para, mais tarde, resolver a Edo pelos Métodos Variacionais. Quanto à metodologia utilizada nesse trabalho, temos a pesquisa exploratória e bibliográfica, e a abordagem qualitativa. Como resultados desse estudo, destaca-se a utilização do Teorema do Passo da Montanha, que fornece algumas condições no funcional, entre elas a condição de Palais Smale, sob as quais o funcional tem ponto crítico. Com isso, os Métodos Variacionais se preocupam em encontrar pontos críticos de funcionais associados à alguma equação diferencial. |
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CARVALHO, Thafne SirqueiraOLIVEIRA JUNIOR, José Carlos de2023-02-08T15:08:51Z2023-02-08T15:08:51Z2023-02-08CARVALHO, Thafne Sirqueira. Introdução aos Métodos Variacionais. 50f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Universidade Federal do Tocantins, Araguaína, 2021.http://hdl.handle.net/11612/4706Esta monografia apresenta uma introdução aos Métodos Variacionais, que formam, hoje em dia, um método importante que é aplicado na área de equações diferenciais. Assim, procurou-se responder a seguinte questão norteadora: como resolver equações diferenciais ordinárias (edo) utilizando os Métodos Variacionais? Esta pesquisa tem como objetivo principal determinar condições necessárias e suficientes para que certas equações diferenciais ordinárias possuam solução via Métodos Variacionais. Para isso, inicialmente, fez-se uma breve revisão sobre medida e os espaços de Lebesgue para generalizar o conceito de integral de Riemann; a partir disso, definiram-se o conceito de derivada fraca e, em seguida, os conhecidos espaços de Sobolev. Dessa forma, nesses espaços, estabeleceu-se o que chamamos de solução fraca do funcional associado à equação dada, para, mais tarde, resolver a Edo pelos Métodos Variacionais. Quanto à metodologia utilizada nesse trabalho, temos a pesquisa exploratória e bibliográfica, e a abordagem qualitativa. Como resultados desse estudo, destaca-se a utilização do Teorema do Passo da Montanha, que fornece algumas condições no funcional, entre elas a condição de Palais Smale, sob as quais o funcional tem ponto crítico. Com isso, os Métodos Variacionais se preocupam em encontrar pontos críticos de funcionais associados à alguma equação diferencial.This monograph presents an introduction to Variational Methods, which today form an important method that is applied in the field of differential equations. Thus, we sought to answer the following guiding question: how to solve ordinary differential equations (ode) using Variational Methods? This research has as main objective to determine necessary and sufficient conditions for certain ordinary differential equations to have a solution via Variational Methods. For this, initially, a brief review of measure and Lebesgue spaces was made to generalize the concept of Riemann’s integral; from this, the concept of the weak derivative was defined, followed by the well-known Sobolev spaces. Thus, in these spaces, what we call a weak solution of the functional associated with the given equation was established, to later solve the Edo by the Variational Methods. As for the methodology used in this work, we have exploratory and bibliographical research, and a qualitative approach. As a result of this study, we highlight the use of the Mountain Pass Theorem, which provides some functional conditions, including the Palais Smale condition, under which the functional has a critical point. Thus, Variational Methods are concerned with finding critical functional points associated with some differential equation.Universidade Federal do TocantinsAraguaínaCURSO::ARAGUAÍNA::PRESENCIAL::LICENCIATURA::MATEMÁTICAAraguaínaGraduaçãoCNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICAEspaços de SobolevTeorema do Passo da MontanhaPalais-SmalePonto CríticoIntrodução aos Métodos Variacionaisinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/bachelorThesisinfo:eu-repo/semantics/openAccessporreponame:Repositório Institucional da UFTinstname:Universidade Federal do Tocantins (UFT)instacron:UFTORIGINALTHAFNE SIRQUEIRA CARVALHO - TCC.pdfTHAFNE SIRQUEIRA CARVALHO - TCC.pdfapplication/pdf699533http://repositorio.uft.edu.br/bitstream/11612/4706/1/THAFNE%20SIRQUEIRA%20CARVALHO%20-%20TCC.pdfdb83d2b13ab7acafbfa8858eafadcf46MD51LICENSElicense.txtlicense.txttext/plain; charset=utf-81748http://repositorio.uft.edu.br/bitstream/11612/4706/2/license.txt8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33MD52TEXTTHAFNE SIRQUEIRA CARVALHO - TCC.pdf.txtTHAFNE SIRQUEIRA CARVALHO - TCC.pdf.txtExtracted texttext/plain74192http://repositorio.uft.edu.br/bitstream/11612/4706/3/THAFNE%20SIRQUEIRA%20CARVALHO%20-%20TCC.pdf.txt2e2ebc2c6fae1140f7f068518e89845dMD53THUMBNAILTHAFNE SIRQUEIRA CARVALHO - TCC.pdf.jpgTHAFNE SIRQUEIRA CARVALHO - TCC.pdf.jpgGenerated Thumbnailimage/jpeg1160http://repositorio.uft.edu.br/bitstream/11612/4706/4/THAFNE%20SIRQUEIRA%20CARVALHO%20-%20TCC.pdf.jpgc74e3f44bdb842c0c0193a162a661e67MD5411612/47062023-02-09 03:01:04.988oai:repositorio.uft.edu.br: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Repositório InstitucionalPUBhttp://repositorio.uft.edu.br/oai/requestbiblioarraias@uft.edu.br || bibliogpi@uft.edu.br || bibliomira@uft.edu.br || bibliopalmas@uft.edu.br || biblioporto@uft.edu.br || biblioarag@uft.edu.br || dirbib@ufnt.edu.br || bibliocca@uft.edu.br || bibliotoc@uft.edu.bropendoar:2023-02-09T06:01:04Repositório Institucional da UFT - Universidade Federal do Tocantins (UFT)false |
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