As álgebras associativas fortemente Lie nilpotentes
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| Data de Publicação: | 2019 |
| Tipo de documento: | Tese |
| Idioma: | por |
| Título da fonte: | Repositório Institucional da UnB |
| Texto Completo: | http://repositorio.unb.br/handle/10482/35300 |
Resumo: | Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2019. |
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As álgebras associativas fortemente Lie nilpotentesPolinômiosPolinômios centraisIdentidades polinomiaisÁlgebra comutativaLie, Álgebra deTese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2019.Sejam K um anel associativo comutativo unitário e A uma K -álgebra associativa unitária. Definimos a série {T(n )( A)}n≥1 de ideais bilaterais em A por T(1) (A)=L(1)( A)=A e T(n)( A)=A L(n)( A) A(n≥2) , onde L(n)( A) é o K - submódulo de A gerado por todos os comutadores [a1 ,…,an ] , onde ai ∈ A , para cada i . Definimos a série central inferior {R(m)( A)}m≥ 0 de ideais bilaterais de A indutivamente por R(0)( A)=A e R(m)( A)=A[R(m−1) (A), A] A(m≥ 1) . Dizemos que a álgebra A é Lie nilpotente de classe no máximo c, se L(c+1)( A)=\{0 \} e, dizemos que A é fortemente Lie nilpotente de classe no máximo c, se R(c)( A)=\{0 \} . Observamos que L(n+1)( A)⊆ R(n)( A) , logo cada álgebra A que é fortemente Lie nilpotente, também é Lie nilpotente. Porém, a recíproca, em geral, não é verdadeira. Sejam F um corpo e F⟨ X⟩ a F -álgebra associativa unitária livre, livremente gerada por um conjunto X. É conhecido que o subespaço dos polinômios centrais C(E) da álgebra de Grassmann de dimensão infinita E sobre um corpo de característica p>2 não é um T -subespaço finitamente gerado de F⟨ X⟩ . Como E é Lie nilpotente de classe 2, o T -subespaço dos polinômios centrais de uma álgebra Lie nilpotente pode não ser finitamente gerado. No presente trabalho demonstramos que isso não pode acontecer se a álgebra for fortemente Lie nilpotente. O nosso primeiro resultado principal é o seguinte: o T - subespaço C(B) dos polinômios centrais de uma F -álgebra associativa unitária fortemente Lie nilpotente B é sempre finitamente gerado (como T -subespaço de F⟨ X⟩ ). Sejam K um anel associativo comutativo unitário e K ⟨X⟩ a K -álgebra associativa unitária livre, livremente gerada por um conjunto X . Consideremos R(m)(K ⟨X⟩)(m≥0) e T(n )(K ⟨X ⟩)(n≥ 1) como definido anteriormente. Por conveniência de notação, quando X=X3=\{ x1 , x2 , x3 \} , então escrevemos R3 (m) e T3 (n) para representar R(m)(K ⟨ X3⟩) e T(n)(K ⟨ X3⟩) respectivamente. O segundo resultado principal do presente trabalho é o seguinte: R3 (n)=T3 (n+1) , para todos n≥0 . Essa igualdade permite dar uma demonstração mais simples de um resultado recente de Kuzmin e Pchelintsev.Let K be a unital associative comutative ring and let A be a unital associative K -algebra. Define the series \{T(n)( A) \}n≥1 of two-sided ideals in A by T(1) (A)=L(1)( A)=A and T(n)( A)=A L(n)( A) A(n≥2) , where L(n)( A) is the K - submodule in A generated by all commutators [a1 ,…,an ] , where ai ∈ A , for each i . Define the lower central series {R(m)( A)}m≥ 0 of two-sided ideals in A inductively by R(0)( A)=A and R(m)( A)=A[R(m−1) (A), A] A(m≥ 1) . We say that the algebra A is Lie nilpotent of class at most c, if L(c+1)( A)=\{0 \} and that A is strongly Lie nilpotent of class at most c, if R(c)( A)=\{ 0 \} . Note that L(n+1)( A)⊆ R(n)( A) so each strongly Lie nilpotent algebra A is Lie nilpotent. However, the converse, in general, is not true. Let F be a field and F⟨ X⟩ the free unital associative F -algebra freely generated by a set X . It is known that the vector subespace of central polynomials C(E) of infinitedimensional Grassmann algebra E over a field of characteristic p>2 is not a finitely generated T -subespace of F⟨ X⟩ . Since E is Lie nilpotent of class 2, the T - subespace of central polynomials of a Lie nilpotent algebra can be non-finitely generated. In this work we prove that this cannot happen if the algebra is strongly Lie nilpotent. Our first main result is as follows: the T -subespace C(B) of central polynomials of a strongly Lie nilpotent associative unital F -algebra B always is finitely generated (as a T -subespace of F⟨ X⟩ ). Let K be a unital associative comutative ring and let K ⟨X⟩ be the free unital associative K -algebra freely generated by a set X . We consider R(m)(K ⟨ X⟩)(m≥0) and T(n )(K ⟨X ⟩)(n≥ 1) as defined above. For convenience of notation, if X=X3=\{ x1 , x2 , x3 \} , then we write R3 (m) and T3 (n) for R(m)(K ⟨X3 ⟩) and T(n)(K ⟨ X3⟩) , respectively. The second main result of this work is as follows: R3 (n)=T3(n+1) , for all n≥0 . This equality allows to give a simpler proof of a recent result by Kuzmin and Pchelintsev.Krassilnikov, AlexeiPereira, Cleber2019-08-15T20:06:22Z2019-08-15T20:06:22Z2019-08-152019-02-21info:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/doctoralThesisapplication/pdfPEREIRA, Cleber. As álgebras associativas fortemente Lie nilpotentes. 2019. vi, 96 f. Tese (Doutorado em Matemática)—Universidade de Brasília, Brasília, 2019.http://repositorio.unb.br/handle/10482/35300A concessão da licença deste item refere-se ao termo de autorização impresso assinado pelo autor com as seguintes condições: Na qualidade de titular dos direitos de autor da publicação, autorizo a Universidade de Brasília e o IBICT a disponibilizar por meio dos sites www.bce.unb.br, www.ibict.br, http://hercules.vtls.com/cgi-bin/ndltd/chameleon?lng=pt&skin=ndltd sem ressarcimento dos direitos autorais, de acordo com a Lei nº 9610/98, o texto integral da obra disponibilizada, conforme permissões assinaladas, para fins de leitura, impressão e/ou download, a título de divulgação da produção científica brasileira, a partir desta data.info:eu-repo/semantics/openAccessporreponame:Repositório Institucional da UnBinstname:Universidade de Brasília (UnB)instacron:UNB2023-07-10T13:04:55Zoai:repositorio.unb.br:10482/35300Repositório InstitucionalPUBhttps://repositorio.unb.br/oai/requestrepositorio@unb.bropendoar:2023-07-10T13:04:55Repositório Institucional da UnB - Universidade de Brasília (UnB)false |
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