Grupos central-por-finito : coberturas de grupos e um problema de Paul Ërdos
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| Data de Publicação: | 2015 |
| Tipo de documento: | Dissertação |
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| Título da fonte: | Repositório Institucional da UnB |
| Texto Completo: | http://repositorio.unb.br/handle/10482/22224 http://dx.doi.org/10.26512/2015.12.D.22224 |
Resumo: | Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2015. |
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Grupos central-por-finito : coberturas de grupos e um problema de Paul ËrdosTeoria dos gruposTeoria dos grafosIndicadores numéricosDissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2015.Um grupo G é dito central-por-finito se o índice do centro [G:Z(G)] é finito. É possível caracterizar a classe dos grupos central-por-finito de várias maneiras. Uma dessas, devida a R. Baer, assegura que um grupo é central-por-finito se, e somente se ele admite uma cobertura finita por subgrupos abelianos. A partir de um problema de teoria dos grafos proposto por Paul Erdös, B. H. Neumann caracterizou os grupos central-por-finito de outra maneira, assegurando que um grupo é central-por-finito se, e somente se ele é um PE-grupo, isto é, um grupo cujo grafo não-comutativo Г(G)não possui subgrafos completos infinitos. Essas duas caracterizações levam a considerar, de maneira natural, três indicadores numéricos relacionados a um grupo central por finito. Primeiro, [G:Z(G)], o índice do centro, segundo, a(G), o número mínimo de subgrupos abelianos necessários para cobrir o grupo G de forma irredundante, e terceiro, ω(G), o tamanho do maior subgrafo completo de Г(G), isto é, o tamanho do maior clique do grafo Г(G). Um problema interessante então é relacionar essas três quantidades, encontrando cotas de uma em função de outra e também determinar condições sob as quais valem as igualdades. Em geral, dado G um grupo central-por-finito, sempre temos que ω(G) ≤ a(G) ≤ [G:Z(G)] ≤c^ω(G) , onde c é uma constante. Além disso, quando G é finito, é natural relacionar os indicadores [G:Z(G)], a(G) e ω(G)não só entre eles, mas também com a ordem de G. Portanto, neste trabalho vamos estudar as duas caracterizações de grupos central-por-finito mencionadas anteriormente, relacionar os três indicadores numéricos ω(G), a(G) e [G:Z(G)] e apresentar vários exemplos, entre eles a família de grupos extraespeciais de ordemp^(2n+1).A group G is said to be central-by-finite if the index of the center [G:Z(G)] is finite. It is possible to characterize the class of central-by-finite groups in many ways. One of them, due to R. Baer, guarantees that a group G is central-by-finite if and only if G can be covered by finitely many abelian subgroups. Motivated by a question on graph theory proposed by Paul Erdös, B. H. Neumann has characterized central-by-finite groups in a different way, ensuring that a group G is central-by-finite if and only if G is a PE-group, that is, a group whose non-commuting graph Г(G) contains no infinite complete subgraph. Both characterizations lead us to consider, in a natural manner, three numerical indicators related to a central-by-finite group. First, [G:Z(G)], the index of the center, second, a(G), the minimum number of abelian subgroups necessary to cover the group G in an irredundant way, and finally, ω(G), the size of the biggest complete subgraph of Г(G), that is, the size of the biggest clique of Г(G). It is interesting, then, to relate those three quantities, finding bounds of one in function of the other and also determining conditions under which equalities hold. In general, for a central-by-finite group G we have that ω(G) ≤ a(G) ≤ [G:Z(G)] ≤c^ω(G) , where c is a constant. Besides that, when G is finite, it is natural to relate the indicators [G:Z(G)], a(G) e ω(G)not only with each other, but also with the order of G. Therefore, in this essay we are going to study the two characterizations mentioned above, relate the three numerical indicators ω(G), a(G) and [G:Z(G)], and present many examples, among them, the class of extraspecial p-groups of order p^(2n+1).Instituto de Ciências Exatas (IE)Departamento de Matemática (IE MAT)Programa de Pós-Graduação em MatemáticaAcciarri, CristinaSaccochi, Rebeca Chuffi2017-01-18T20:09:53Z2017-01-18T20:09:53Z2017-01-182015-12-03info:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesisapplication/pdfSACCOCHI, Rebeca Chuffi. Grupos central-por-finito: coberturas de grupos e um problema de Paul Ërdos. 2015. vi, 69 f., il. Dissertação (Mestrado em Matemática)—Universidade de Brasília, Brasília, 2015.http://repositorio.unb.br/handle/10482/22224http://dx.doi.org/10.26512/2015.12.D.22224A concessão da licença deste item refere-se ao termo de autorização impresso assinado pelo autor com as seguintes condições: Na qualidade de titular dos direitos de autor da publicação, autorizo a Universidade de Brasília e o IBICT a disponibilizar por meio dos sites www.bce.unb.br, www.ibict.br, http://hercules.vtls.com/cgi-bin/ndltd/chameleon?lng=pt&skin=ndltd sem ressarcimento dos direitos autorais, de acordo com a Lei nº 9610/98, o texto integral da obra disponibilizada, conforme permissões assinaladas, para fins de leitura, impressão e/ou download, a título de divulgação da produção científica brasileira, a partir desta data.info:eu-repo/semantics/openAccessporreponame:Repositório Institucional da UnBinstname:Universidade de Brasília (UnB)instacron:UNB2024-03-01T16:27:47Zoai:repositorio.unb.br:10482/22224Repositório InstitucionalPUBhttps://repositorio.unb.br/oai/requestrepositorio@unb.bropendoar:2024-03-01T16:27:47Repositório Institucional da UnB - Universidade de Brasília (UnB)false |
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