Soluções numéricas da equação de Gross-Pitaevskii com generalização fracionária

Detalhes bibliográficos
Autor(a) principal: Gomes, Paulo Henrique Cunha, 1970-
Data de Publicação: 2024
Tipo de documento: Tese
Idioma: por
Título da fonte: Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)
Texto Completo: https://hdl.handle.net/20.500.12733/19058
Resumo: Orientador: Varese Salvador Timoteo
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spelling Soluções numéricas da equação de Gross-Pitaevskii com generalização fracionáriaNumerical solutions of the Gross-Pitaevskii equation with fractional generalizatioEquações diferenciais não-lineares - Soluções numéricasCálculo fracionárioTeoria da aproximaçãoAnálise numéricaNonlinear differential equations - Numerical solutionsFractional calculusApproximation theoryNumerical analysisOrientador: Varese Salvador TimoteoTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Faculdade de TecnologiaResumo: Em nosso trabalho nos propomos a resolver numericamente uma equação de Gross-Pitaevskii com uma singularidade (um termo em $x^2$) no denominador, um problema de valor inicial com condições iniciais dadas para $x=0$, ou seja o desafio número 1 do nosso trabalho. Em seguida como parte do objetivo do trabalho no contexto do cálculo fracionário numérico nos propomos a estender a solução da equação de Gross-Pitaevskii para soluções fracionárias respeitando as condições iniciais do problema. Posteriormente no caminho dos objetivos a alcançar nos deparamos com questões naturais tais quais ajuste de curvas, aproximação funcional, ou seja, encontrar as melhores funções que se ajustam aos dados numéricos obtidos, trabalhamos com polinômios de Taylor, Bernstein e polinômios ajustados por quadrados mínimos. Finalmente apresentamos meios de generalizar equações de figuras geométricas, sólidos no $\mathbb{R}^3$, generalizar a solução de equações diferenciais conhecidas ou não para representações fracionárias, propomos uma generalização fracionária do $senx$ e $cosx$ para que juntamente com coordenadas esféricas seja possível dar uma versão fracionária de objetos do $\mathbb{R}^3$. A questão de generalizar o legado em física para representações fracionárias deste mesmo legado é bem discutido. O leitor pode consultar o livro de \cite{herrmann2011fracional}, Fractional Calculus An Introduction For Physicists onde se aborda sobre a idéia do oscilador harmônico fracionário, forças de atrito sob uma óptica fracionária, equações de ondas de um ponto de vista fracionário, equações da mecânica quântica de um ponto de vista fracionário, tensor fracionário e spin fracionário etc. Mostrando a importância da generalização fracionária em física. Neste trabalho no contexto de cálculo numérico fracionário avançamos no tópico de generalizaçõesAbstract: In our work, we propose to numerically solve a Gross-Pitaevskii equation with a singularity (a term in $x^2$) in the denominator, an initial value problem with given initial conditions for $x=0$, which is challenge number one of our work. Next, as part of the objective of the work in the context of numerical fractional calculus, we propose to extend the solution of the Gross-Pitaevskii equation to fractional solutions respecting the initial conditions of the problem. Subsequently, in the course of achieving our objectives, we encountered natural issues such as curve fitting, functional approximation, that is, finding the best functions that fit the numerical data obtained, working with Taylor and Bernstein polynomials, and polynomials adjusted by least squares. Finally, we present ways to generalize equations of geometric figures, solids in $\mathbb{R}^3$, to generalize the solution of known or unknown differential equations to fractional representations, we propose a fractional generalization of $\sin x$ and $\cos x$ so that together with spherical coordinates it is possible to give a fractional version of objects in $\mathbb{R}^3$. The issue of generalizing the legacy in physics to fractional representations of this same legacy is well discussed. The reader can refer to the book by Herrmann (2011), *Fractional Calculus: An Introduction for Physicists*, which discusses the idea of the fractional harmonic oscillator, frictional forces from a fractional perspective, wave equations from a fractional viewpoint, quantum mechanics equations from a fractional perspective, fractional tensor, and fractional spin, etc., showing the importance of fractional generalization in physics. In this work, in the context of advanced numerical fractional calculus, we advance in the topic of generalizationsAbertoDoutoradoSistemas de Informação e ComunicaçãoDoutor em TecnologiaCAPES88887.602285/2021-00[s.n.]Timoteo, Varese Salvador, 1972-Paula, Luciana Cláudia deRodrigues, Diego SamuelReis, Ednei FelixBatista, Edilson FerreiraUniversidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Faculdade de TecnologiaPrograma de Pós-Graduação em TecnologiaUNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASGomes, Paulo Henrique Cunha, 1970-20242024-03-21T00:00:00Zinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/doctoralThesisapplication/pdf1 recurso online (144 p.) : il., digital, arquivo PDF.https://hdl.handle.net/20.500.12733/19058GOMES, Paulo Henrique Cunha. Soluções numéricas da equação de Gross-Pitaevskii com generalização fracionária. 2024. 1 recurso online (144 p.) Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Faculdade de Tecnologia, Limeira, SP. Disponível em: https://hdl.handle.net/20.500.12733/19058. 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