Estudo de uma equação logística com um termo de advecção não linear

• Autor(a) principal: Felipe, Willian Vinicius
• Data de Publicação: 2024
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Institucional da UNESP
• Texto Completo: https://hdl.handle.net/11449/254880
• topic: Equações diferenciais parciais; Princípio do máximo; Subsolução e supersolução; Solução positiva; Equação logística; Partial differential equations; Maximum principle; Subsolution and supersolution; Positive solution; Logistic equation; Picone's identity

Neste trabalho, será estudada a existência de solução positiva para uma equação logística com um termo de advecção não linear: −Δu + ⃗α · ∇u^p = λu − u², em Ω, u = 0, sobre ∂Ω, (P) onde Ω ⊂ R^N, N ≥ 1, é um domínio limitado com fronteira suave, ⃗α ∈ R^N, p > 1, e λ ∈ R. A equação (P) difere da equação logística clássica de dinâmica populacional pelo termo adicional não linear de advecção (⃗α · ∇u^p). Do ponto de vista biológico, tal termo adicional representa a velocidade pela qual a espécie estudada se movimenta, sendo que sua densidade aumenta ou diminui dependendo da função u e da extensão do parâmetro p e do |⃗α|. No entanto, do ponto de vista matemático, tal termo traz consigo uma nova complexidade. Além dos métodos já utilizados para a resolução de equações logísticas clássicas, como o princípio do máximo, as propriedades espectrais do autovalor principal do problema e o método de sub-supersolução, é necessário uma análise cuidadosa referente ao crescimento de p e do vetor ⃗α. Para isso, será utilizado o método de sub-supersolução levando em consideração o crescimento da função f(x, u,∇) = λu−u² − ⃗α ·∇u^p, e ainda utilizando a Identidade de Picone para mostrar a existência e unicidade de uma solução positiva para o problema. Por m, é mostrado que ao modificar o parâmetro ⃗α ∈ R^N por⃗ α ∈ C_0^1 (Ω), se o div ⃗α ≡ 0 os resultados de unicidade de solução positiva permanecem, caso contrário, é demonstrado que se a bifurcação do caminho de soluções for subcrítica, em determinada região próxima de λ_1 é possível obter no mínimo duas soluções positivas para o problema (P).