Emaranhadores, estados quânticos e uma contribuição à conjectura de Lehmer

• Autor(a) principal: Pereira, Hevans Vinicius
• Data de Publicação: 2018
• Tipo de documento: Tese
• Idioma: por
• Título da fonte: Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFRGS
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/10183/188064
• topic: Mecânica quântica; Teoria dos números; Universal Entanglers; Lehmer Conjecture; Geometry of quantum states; Bloch’s Sphere; Unitary Group

Este trabalho apresenta alguns problemas matemáticos ligados à Mecânica Quântica e à Teoria de Números; mais precisamente, este trabalho apresenta três problemas: dois deles no contexto da Mecânica Quântica e o terceiro no âmbito da Teoria de Números. O primeiro problema, dentro do contexto da Mecânica Quântica, trata de determinar a geometria dos estados da esfera de Bloch que representem estados fisicamente realizáveis. Tal geometria herda uma simetria que é preservada por transformacões isoespectrais que compõem um grupo abeliano; nesse sentido, obtivemos os mesmos resultados de Mendas, em [14], e Kimura, em [10] e [11], mas por um método diferente. Em [10] e [11] o problema é abordado inteiramente em coordenadas esféricas, o que conduz a uma formulação ligeiramente diferente na obtenção dos autolavores do operador densidade. Em [14], a mesma ideia de [10] e [11] é abordada mas em dimensão d = 4. Em ambas as referências o ponto principal foi tomar interseção da esfera de Bloch com hiperplanos especiais do espaço, isso permitiu aos autores utilizar métodos computacionais e ilustrar regiões de interesse na tentativa de compreender melhor a geometria do problema. Já o segundo problema trata de descobrir propriedades de sistemas dinâmicos quânticos, como convergência e velocidade de convergência de produto de matrizes unitárias sorteadas aleatoriamente para emaranhadores universais. Conseguimos um resultado interessante que garante a convergência com velocidade exponencial, mesmo sob condições relativamente gerais. Tal resultado é importante devido ao interesse da comunidade acadêmica em entender melhor emaranhadores universais e usá-los em aplicações da computação quântica. Mais especificamente, nosso resultado garante que dado um número finito de elementos u1, ... un ∈... U (n) escolhidos ao acaso, então o produto de elementos aleatoriamente sorteados na vizinhança dos elementos u1, ..., un converge fraco-estrela para um emaranhador universal na medida de Haar em U(n). Tal resultado pode auxiliar no entendimento de propriedades de emaranhadores universais e em aplicações da computação quântica, tópicos que vêm sendo bastante estudados pela comunidade acadêmica. Finalmente, o terceiro problema, pertencente à área de Teoria de Números. É uma conjectura que encontra-se sem solução desde 1932, quando foi formulada por Derrick Henry Lehmer. Uma nova abordagem na tentativa de resolver este problema é apresentada.