Aplicação da teoria das matrizes não-negativas e matrizes-M ao modelo de Leontief

• Autor(a) principal: Rech, Sérgio José
• Data de Publicação: 2002
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFRGS
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/10183/118197
• topic: Álgebra linear; Teoria das matrizes não-negativas; Análise de insumo-produto; Matrizes-M; Modelo de Leontief; Nonncgative matrix; M-matrix; Leontiers model

Seja Uln sistema econômico, que envolve n indústrias interdependentes tais que cada indústria produz um único tipo de artigo. Denotemos com t ij a quantidade da entrada (insumo) da iêsima mercadoria que a economia necessita para produzir uma unidade da mercadoria} de saída (produto). A matriz T := [ tlj ] de insumo-produto de Leontief é uma matriz não-negativa. Descreveremos as propriedades das matrizes não-negativas, necessárias para uma análise matemática do modelo de Leontief. Se esse modelo descreve uma economia viável, a soma dos elementos em cada coluna de T será menor ou igual a l. Suponhamos mais que o sistema econômico modelado contenha um setor aberto, onde trabalho, lucro, etc. entram como segue. Seja x, o produto total que a indústria i requer para atender à demanda do setor aberto e das n indústrias. Então x = Tx + d, onde d := [ d,] é o vetor das demandas, isto é, d; é a demanda do s~tor aberto sobre a indústria iésúna. Aqui l;JXj representa o insumo que a j ésima indústria necessita da i•s•ma indústria. Os níveis de produção requeridos pela totalidade das n indústrias, a fim de poder atender a essas demandas, constituem o vetor-solução do sistema linear Ax = d, com A := I- T. Como a soma dos elementos de cada coluna de T é menor ou igual a I; o raio espectral de T também é menor ou igual a 1. Quando o raio espectral é menor que 1, T é convergente e A tem um inversa com todos os elementos não-negativos (matriz não-negativa). Discutiremos as matrizes não-negativas. Além disso, os elementos não-diagonais de A := I - T são todos negativos ou nulos. Matrizes com esse quadro de sinais, cujas inversas são não-negativas, são ditas matrizes-M não-singulares. Discutjremos também as matrizes-M não-singulares e singulares. O objetivo principal deste trabalho é a apl icação interessante da teoria das matrizes nãonegativas e matrizes-M, na análise do modelo de Leontief descrito muito brevemente acima, resultando um método elegante de análise de insumo-produto.