Fecho Galoisiano de sub-extensões quárticas do corpo de funções racionais sobre corpos finitos

• Autor(a) principal: Monteza, David Alberto Saldaña
• Data de Publicação: 2017
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP
• Texto Completo: http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/55/55135/tde-12092017-141837/
• topic: Bézout theorem; Corpo de funções; Corpos finitos; Cubic resolvent; Finite fields; Function fields; Galois theory; Resolvente cúbica; Teorema de Bézout; Teoria de Galois

Seja p um primo, considere q = pe com e ≥ 1 inteiro. Dado o polinômio f (x) = x4+ax3+bx2+ cx+d ∈ Fq[x], consideremos o polinômio F(T) = T4 +aT3 +bT2 +cT + d - y ∈ Fq(y)[T], com y = f (x) sobre Fq(y). O objetivo desse trabalho é determinar o número de polinômios f (x) que tem seu grupo de galois associado GF isomorfo a cada subgrupo transitivo (prefixado) de S4. O trabalho foi baseado no artigo: Galois closures of quartic sub-fields of rational function fields, usando equações auxiliares associadas ao polinômio minimal F(T) de graus 3 e 2 (DUMMIT, 1994); bem como uma caraterização das curvas projetivas planas de grau 2 não singulares. Se car(k) ≠ 2, associamos a F(T) sua cúbica resolvente RF(T) e seu discriminante ΔF. Em seguida obtemos condições para GF ≅ C4 (vide Teorema 2.9), que é ocaso fundamental para determinação dos demais casos. Se car(k) = 2, procuramos determinar condições para GRF ≅ A3, associando ao polinômio RF(T) sua quadrática resolvente P(T) (vide a Proposição 2.13). Apos ter homogeneizado P(T), usamos uma das consequências do teorema de Bézout, a saber, uma curva algébrica projetiva plana C de grau 2 é irredutível se, e somente se, C não tem pontos singulares. Nesta dissertação obtemos resultados semelhantes com uma abordagem relativamente diferente daquela usada pelo autor R. Valentini.