Categorias monoidais e álgebras de Hopf

• Autor(a) principal: Silva, James Miller Simeão Toledo da
• Data de Publicação: 2020
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP
• Texto Completo: https://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/43/43134/tde-13032020-093228/
• topic: álgebras de Hopf; categorias monoidais; fusion categories; fusion categories; Hopf algebras; monoidal categories; Quantum Double; Quantum Double; representações; representations

As fases da matéria mais conhecidas são as sólida, líquida e gasosas. Estas e outras fases são descritas pela teoria de quebra de simetria de Landau. Segundo esta teoria basta conhecer as propriedades da matéria localmente para determinar sua fase. Para o Efeito Hall Quântico Fracionário a teoria de Landau não consegue descrever suas diferentes fases, dizemos que tal sistema possui ordem topológica. Tais fases são caracterizadas, dentre outras coisas por haver degenerescência do estado fundamental e esta depender da topologia da variedade em que o sistema físico se encontra. Há diversos modelos teóricos de sistemas com ordem topológica, um deles é o toric code e suas generalizações, o Quantum Double Model e o modelo de string-net. O modelo de string-net forma uma classe grande de modelos com ordem topológica, ele é construído a partir de uma categoria fusion esférica. Nesta dissertação estudamos a teoria de categorias monoidais, especializando em categorias pivotais, esféricas, braided e fusion, e é estudado com mais detalhe o exemplo da categoria de representações do Quantum Double de um grupo finito, que é um exemplo de categoria fusion esférica braided. Além disso, fazemos uso de linguagens gráficas para categorias monoidais e álgebras de Hopf de forma a simplificar a demonstração de diversos resultados.