Continuidade de atratores para uma família de perturbações altamente oscilatórias do quadrado

• Autor(a) principal: Lorenzi, Bianca Paolini
• Data de Publicação: 2023
• Tipo de documento: Tese
• Idioma: por
• Título da fonte: Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP
• Texto Completo: https://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45131/tde-15082023-203143/
• topic: Atrator global; Continuidade de atratores; Continuity of attractors; Domínio Lipschitz; Equações parabólicas; Global attractor; Lipschitz domains; Parabolic equations; Perturbação de domínio; Perturbation of the domain

Consideramos uma família de problemas parabólicos semilineares \\begin{equation*} \\left\\{ \\begin u_(x,t) = \\Delta u(x,t) - au(x,t) + f(u(x,t)), \\,\\,\\, x \\in \\Omega_{\\epsilon}, t > 0, \\\\ \\frac{\\partial u}{\\partial N} (x,t) = g(u(x,t)), \\,\\,\\, x \\in \\partial \\Omega_{\\epsilon}, t > 0, \\end ight. \\end{equation*} oindent onde $a > 0$, $\\Omega$ é o quadrado unitário, $\\Omega_{\\epsilon} = h_{\\epsilon}(\\Omega)$, $h_{\\epsilon}$ é uma família de difeomorfismos, os quais convergem para a identidade de $\\Omega$ na norma $C^{0, \\alpha}, \\, 0 \\leq \\alpha < 1 $, mas não na norma $C^$ e, $f,g: \\mathbb ightarrow \\mathbb$ são funções reais. Sob determinadas hipóteses, mostramos que o problema limite é dado por \\begin{equation*}\\ \\left\\{ \\begin u_(x,t) = \\Delta u(x,t) - au(x,t) + f(u(x,t)), \\,\\,\\, x \\in \\Omega, t > 0, \\\\ \\frac{\\partial u}{\\partial N} (x,t) = g(u(x,t))\\mu, \\,\\,\\, x \\in \\partial \\Omega, t > 0, \\end ight. \\end{equation*} oindent em que $\\mu$ é essencialmente o limite do determinante jacobiano do difeomorfismo $h_{\\epsilon} : \\partial \\Omega ightarrow \\partial h_{\\epsilon}(\\Omega)$. Demonstramos que o problema está bem posto para $0 \\leq \\epsilon \\leq \\epsilon_$, $\\epsilon_ > 0$, em um espaço de fase conveniente, que o semigrupo associado possui um atrator global $\\mathcal_{\\epsilon}$ e, que a família $\\{ \\mathcal_{\\epsilon} \\}_{0 \\, \\leq \\, \\epsilon \\, \\leq \\, \\epsilon_}$ é contínua em $\\epsilon = 0$.\\\\