Continuidade de atratores para uma família de perturbações altamente oscilatórias do quadrado
Autor(a) principal: | |
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Data de Publicação: | 2023 |
Tipo de documento: | Tese |
Idioma: | por |
Título da fonte: | Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP |
Texto Completo: | https://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45131/tde-15082023-203143/ |
Resumo: | Consideramos uma família de problemas parabólicos semilineares \\begin{equation*} \\left\\{ \\begin u_(x,t) = \\Delta u(x,t) - au(x,t) + f(u(x,t)), \\,\\,\\, x \\in \\Omega_{\\epsilon}, t > 0, \\\\ \\frac{\\partial u}{\\partial N} (x,t) = g(u(x,t)), \\,\\,\\, x \\in \\partial \\Omega_{\\epsilon}, t > 0, \\end ight. \\end{equation*} oindent onde $a > 0$, $\\Omega$ é o quadrado unitário, $\\Omega_{\\epsilon} = h_{\\epsilon}(\\Omega)$, $h_{\\epsilon}$ é uma família de difeomorfismos, os quais convergem para a identidade de $\\Omega$ na norma $C^{0, \\alpha}, \\, 0 \\leq \\alpha < 1 $, mas não na norma $C^$ e, $f,g: \\mathbb ightarrow \\mathbb$ são funções reais. Sob determinadas hipóteses, mostramos que o problema limite é dado por \\begin{equation*}\\ \\left\\{ \\begin u_(x,t) = \\Delta u(x,t) - au(x,t) + f(u(x,t)), \\,\\,\\, x \\in \\Omega, t > 0, \\\\ \\frac{\\partial u}{\\partial N} (x,t) = g(u(x,t))\\mu, \\,\\,\\, x \\in \\partial \\Omega, t > 0, \\end ight. \\end{equation*} oindent em que $\\mu$ é essencialmente o limite do determinante jacobiano do difeomorfismo $h_{\\epsilon} : \\partial \\Omega ightarrow \\partial h_{\\epsilon}(\\Omega)$. Demonstramos que o problema está bem posto para $0 \\leq \\epsilon \\leq \\epsilon_$, $\\epsilon_ > 0$, em um espaço de fase conveniente, que o semigrupo associado possui um atrator global $\\mathcal_{\\epsilon}$ e, que a família $\\{ \\mathcal_{\\epsilon} \\}_{0 \\, \\leq \\, \\epsilon \\, \\leq \\, \\epsilon_}$ é contínua em $\\epsilon = 0$.\\\\ |
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Continuidade de atratores para uma família de perturbações altamente oscilatórias do quadradoContinuity of attractors for a family of highly oscillatory perturbations of the squareAtrator globalContinuidade de atratoresContinuity of attractorsDomínio LipschitzEquações parabólicasGlobal attractorLipschitz domainsParabolic equationsPerturbação de domínioPerturbation of the domainConsideramos uma família de problemas parabólicos semilineares \\begin{equation*} \\left\\{ \\begin u_(x,t) = \\Delta u(x,t) - au(x,t) + f(u(x,t)), \\,\\,\\, x \\in \\Omega_{\\epsilon}, t > 0, \\\\ \\frac{\\partial u}{\\partial N} (x,t) = g(u(x,t)), \\,\\,\\, x \\in \\partial \\Omega_{\\epsilon}, t > 0, \\end ight. \\end{equation*} oindent onde $a > 0$, $\\Omega$ é o quadrado unitário, $\\Omega_{\\epsilon} = h_{\\epsilon}(\\Omega)$, $h_{\\epsilon}$ é uma família de difeomorfismos, os quais convergem para a identidade de $\\Omega$ na norma $C^{0, \\alpha}, \\, 0 \\leq \\alpha < 1 $, mas não na norma $C^$ e, $f,g: \\mathbb ightarrow \\mathbb$ são funções reais. Sob determinadas hipóteses, mostramos que o problema limite é dado por \\begin{equation*}\\ \\left\\{ \\begin u_(x,t) = \\Delta u(x,t) - au(x,t) + f(u(x,t)), \\,\\,\\, x \\in \\Omega, t > 0, \\\\ \\frac{\\partial u}{\\partial N} (x,t) = g(u(x,t))\\mu, \\,\\,\\, x \\in \\partial \\Omega, t > 0, \\end ight. \\end{equation*} oindent em que $\\mu$ é essencialmente o limite do determinante jacobiano do difeomorfismo $h_{\\epsilon} : \\partial \\Omega ightarrow \\partial h_{\\epsilon}(\\Omega)$. Demonstramos que o problema está bem posto para $0 \\leq \\epsilon \\leq \\epsilon_$, $\\epsilon_ > 0$, em um espaço de fase conveniente, que o semigrupo associado possui um atrator global $\\mathcal_{\\epsilon}$ e, que a família $\\{ \\mathcal_{\\epsilon} \\}_{0 \\, \\leq \\, \\epsilon \\, \\leq \\, \\epsilon_}$ é contínua em $\\epsilon = 0$.\\\\We consider the family of semilinear parabolic problems \\begin{equation*} \\left\\{ \\begin u_(x,t) = \\Delta u(x,t) - au(x,t) + f(u(x,t)), \\,\\,\\, x \\in \\Omega_{\\epsilon}, t > 0, \\\\ \\frac{\\partial u}{\\partial N} (x,t) = g(u(x,t)), \\,\\,\\, x \\in \\partial \\Omega_{\\epsilon}, t > 0, \\end ight. \\end{equation*} oindent where $a > 0$, $\\Omega$ is the unit square, $\\Omega_{\\epsilon} = h_{\\epsilon}(\\Omega)$, $h_{\\epsilon}$ is a family of diffeomorphisms which converge to the identity of $\\Omega$ in $C^{0, \\alpha}$ - norm, $ 0 \\leq \\alpha < 1$, but not in the $C^$ - norm and, $f,g: \\mathbb ightarrow \\mathbb$ are real functions. Under appropriate hypothesis, we show that the limiting problem is given by \\begin{equation*}\\ \\left\\{ \\begin u_(x,t) = \\Delta u(x,t) - au(x,t) + f(u(x,t)), \\,\\,\\, x \\in \\Omega, t > 0, \\\\ \\frac{\\partial u}{\\partial N} (x,t) = g(u(x,t))\\mu, \\,\\,\\, x \\in \\partial \\Omega, t > 0, \\end ight. \\end{equation*} oindent where $\\mu$ is essentially the limit of the jacobian determinant of the diffeomorphism $h_{\\epsilon} : \\partial \\Omega ightarrow \\partial h_{\\epsilon}(\\Omega)$. We prove that the problem is well posed for $0 \\leq \\epsilon \\leq \\epsilon_$, $\\epsilon_ > 0$, in a suitable phase space, the associated semigroup has a global attractor $\\mathcal_{\\epsilon}$ and the family $\\{ \\mathcal_{\\epsilon} \\}_{0 \\,\\leq \\, \\epsilon \\, \\leq \\, \\epsilon_}$ is continuous at $\\epsilon = 0$.Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USPPereira, Antonio LuizLorenzi, Bianca Paolini2023-07-07info:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/doctoralThesisapplication/pdfhttps://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45131/tde-15082023-203143/reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USPinstname:Universidade de São Paulo (USP)instacron:USPLiberar o conteúdo para acesso público.info:eu-repo/semantics/openAccesspor2023-08-22T19:22:02Zoai:teses.usp.br:tde-15082023-203143Biblioteca Digital de Teses e Dissertaçõeshttp://www.teses.usp.br/PUBhttp://www.teses.usp.br/cgi-bin/mtd2br.plvirginia@if.usp.br|| atendimento@aguia.usp.br||virginia@if.usp.bropendoar:27212023-08-22T19:22:02Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP - Universidade de São Paulo (USP)false |
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