Introdução à Homologia de Interseção
Autor(a) principal: | |
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Data de Publicação: | 2024 |
Tipo de documento: | Dissertação |
Idioma: | por |
Título da fonte: | Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP |
Texto Completo: | https://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/55/55135/tde-30092024-140813/ |
Resumo: | As Teorias de Homologia e Cohomologia constituem conceitos fundamentais na Topologia Algébrica, com o propósito de distinguir e estabelecer relações entre espaços topológicos. Suas aplicações, tanto dentro quanto fora da Matemática, são vastas. Um dos resultados mais notáveis que conecta essas teorias é a famosa Dualidade de Poincaré. Esta dualidade permite estabelecer isomorfismos entre grupos de homologia e cohomologia, proporcionando uma compreensão profunda da topologia dos espaços. Contudo, é importante ressaltar que a validade da Dualidade de Poincaré, em geral, está condicionada à ausência de singularidades na estrutura topológica do espaço estudado. Quando o espaço em questão apresenta singularidades, a Dualidade de Poincaré não se aplica de maneira universal. Em 1974, Mark Goresky e Robert MacPherson desenvolveram uma Teoria de Homologia e Cohomologia específica para lidar com casos singulares, conhecida como Homologia de Interseção. Essa abordagem permite capturar informações relevantes das contribuições das singularidades, ampliando o escopo de aplicação dessas teorias. Neste trabalho, exploramos a teoria de homologia e cohomologia, apresentamos a Dualidade de Poincaré e, por fim, abordamos as definições, resultados e exemplos básicos da homologia de interseção. Por exemplo, introduzimos uma adaptação da Dualidade de Poincaré no contexto singular. Assim, oferecemos uma breve introdução a essa teoria, com exemplos e sua relação com a homologia clássica. |
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Introdução à Homologia de InterseçãoIntroduction to Intersection HomologyDualidade de PoincaréEspaços singularesHomologiaHomologia de interseçãoHomologyIntersection homologyPoincaré dualitySingular spacesAs Teorias de Homologia e Cohomologia constituem conceitos fundamentais na Topologia Algébrica, com o propósito de distinguir e estabelecer relações entre espaços topológicos. Suas aplicações, tanto dentro quanto fora da Matemática, são vastas. Um dos resultados mais notáveis que conecta essas teorias é a famosa Dualidade de Poincaré. Esta dualidade permite estabelecer isomorfismos entre grupos de homologia e cohomologia, proporcionando uma compreensão profunda da topologia dos espaços. Contudo, é importante ressaltar que a validade da Dualidade de Poincaré, em geral, está condicionada à ausência de singularidades na estrutura topológica do espaço estudado. Quando o espaço em questão apresenta singularidades, a Dualidade de Poincaré não se aplica de maneira universal. Em 1974, Mark Goresky e Robert MacPherson desenvolveram uma Teoria de Homologia e Cohomologia específica para lidar com casos singulares, conhecida como Homologia de Interseção. Essa abordagem permite capturar informações relevantes das contribuições das singularidades, ampliando o escopo de aplicação dessas teorias. Neste trabalho, exploramos a teoria de homologia e cohomologia, apresentamos a Dualidade de Poincaré e, por fim, abordamos as definições, resultados e exemplos básicos da homologia de interseção. Por exemplo, introduzimos uma adaptação da Dualidade de Poincaré no contexto singular. Assim, oferecemos uma breve introdução a essa teoria, com exemplos e sua relação com a homologia clássica.The Homology and Cohomology Theories constitute fundamental concepts in Algebraic Topology, with the purpose of distinguishing and establishing relationships between topological spaces. Its applications, both inside and outside Mathematics, are vast. One of the most notable results that connects these theories is the famous Poincaré Duality. This duality allows isomorphisms to be established between homology and cohomology groups, providing a deep understanding of the topology of spaces. However, it is important to highlight that the validity of Poincaré Duality, in general, is conditioned by the absence of singularities in the topological structure of the studied space. When the space in question presents singularities, Poincaré Duality does not apply universally. In 1974, Mark Goresky and Robert MacPherson developed a Homology and Cohomology Theory specific to dealing with singular cases, known as Intersection Homology. This approach allows capturing relevant information about the contributions of singularities, expanding the scope of application of these theories. In this work, we explore the theory of homology and cohomology, present Poincaré Duality, and finally discuss the definitions, results, and basic examples of intersection homology. For instance, we introduce an adaptation of Poincaré Duality in the singular context. Thus, we provide a brief introduction to this theory, including examples and its relationship with classical homology.Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USPGrulha Junior, Nivaldo de GóesLucena, Hana Marinho2024-08-08info:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesisapplication/pdfhttps://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/55/55135/tde-30092024-140813/reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USPinstname:Universidade de São Paulo (USP)instacron:USPLiberar o conteúdo para acesso público.info:eu-repo/semantics/openAccesspor2024-09-30T17:12:02Zoai:teses.usp.br:tde-30092024-140813Biblioteca Digital de Teses e Dissertaçõeshttp://www.teses.usp.br/PUBhttp://www.teses.usp.br/cgi-bin/mtd2br.plvirginia@if.usp.br|| atendimento@aguia.usp.br||virginia@if.usp.bropendoar:27212024-09-30T17:12:02Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP - Universidade de São Paulo (USP)false |
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