Estabilidade de ground state para a equação de Schrödinger logarítmica com potenciais do tipo delta

• Autor(a) principal: Hernandez Ardila, Alex Javier
• Data de Publicação: 2016
• Tipo de documento: Tese
• Idioma: por
• Título da fonte: Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP
• Texto Completo: http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45131/tde-29082016-175729/
• topic: Delta potencial; Delta potential; Delta-derivada potencial; Delta-prime potential; Equação de Schrödinger logarítmica; Estabilidade orbital; Ground state; Ground state; Logarithmic Schrödinger equation; Orbital stability

Na primeira parte do trabalho estudamos a equação de Schrödinger logarítmica com um delta potencial; $V(x)=-\\gamma \\,\\delta(x)$, onde $\\delta$ é a distribuição de Dirac na origem e o parâmetro real $\\gamma$ descreve a intensidade do potencial. Estabelecemos a existência e unicidade das soluções do problema de Cauchy associado em um espaço de funções adequado. No caso do potencial atrativo ($\\gamma>0$), calculamos de forma explícita o seu único ground state e mostramos a sua estabilidade orbital.\\\\ A segunda parte trata detalhadamente da equação de Schrödinger logarítmica com um delta derivada potencial; $V(x)=-\\gamma\\, \\delta^{\\prime}(x)$. A boa colocação global para o problema de Cauchy é verificada em um espaço de funções adequado. No caso do potencial atrativo ($\\gamma>0$), o conjunto dos ground states é completamente determinado. Mais precisamente: se $0<\\gamma\\leq2$, então há um único ground state e é uma função ímpar; se $\\gamma>2$, então existem dois ground states não-simétricos. Em adição, provamos que cada ground state é orbitalmente estável através de uma abordagem variacional. Finalmente, usando a teoria de extensão de operadores simétricos, também mostramos um resultado de instabilidade para $\\gamma>2$.