Aplicações da teoria dos espaços coarse a espaços de Banach e grupos topológicos

• Autor(a) principal: Garcia, Denis de Assis Pinto
• Data de Publicação: 2019
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP
• Texto Completo: http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45131/tde-05082019-213214/
• topic: Banach spaces; Coarse embeddings; Coarse spaces; Espaços coarse; Espaços de Banach; Espaços uniformes; Geometria de larga escala; Grupos topológicos; Large-scale geometry; Mergulhos grosseiros; Mergulhos uniformes; Topological groups; Uniform embeddings; Uniform spaces

Este trabalho é uma contribuição ao estudo da geometria de larga escala de espaços de Banach e de grupos topológicos. Embora esses dois campos sejam tradicionalmente estudados de forma independente, em 2017, Christian Rosendal mostrou que eles podem ser encarados como faces distintas de algo maior: a geometria grosseira de grupos topológicos. Uma ferramenta essencial para o desenvolvimento dessa nova abordagem é a noção de estrutura coarse, introduzida por John Roe em 2003, a qual pode ser vista como a contraparte de larga escala do conceito de estrutura uniforme. Por essa razão, os capítulos iniciais da dissertação destinam-se a apresentar uma introdução elementar à teoria dos espaços uniformes e dos espaços coarse, destacando os conceitos-chave para a compreensão dos demais capítulos e conferindo particular atenção ao estudo de uniformidades e estruturas coarse associadas a grupos topológicos, dentre as quais são enfatizadas as estruturas uniforme à esquerda e coarse à esquerda de um grupo topológico. No capítulo 5, são discutidos resultados recentes de Christian Rosendal acerca da existência de mergulhos uniformes e mergulhos grosseiros entre espaços de Banach. Dois dos mais importantes afirmam que, se existir uma função f uniformemente contínua e não colapsada entre os espaços de Banach (X, ||·||_X) e (E, ||·||_E), então, para todo p em [1, + infty[, existirá um mergulho uniforme de (X, ||·||_X) em (l_p(E), ||·||_p) o qual é, também, um mergulho grosseiro, e que, se f for, também, limitada, existirá um mergulho grosseiro uniformemente contínuo de (X, ||·||_X) em (ExE, ||·||_(ExE)). Já no capítulo 6, estuda-se a classe das estruturas coarse invariantes à esquerda sobre grupos. Inicialmente, mostra-se como uma estrutura coarse invariante à esquerda em um grupo (G, · ) pode ser descrita em função de um certo ideal sobre G, e vice-versa. Em seguida, utiliza-se esse resultado para caracterizar a estrutura coarse à esquerda E_L de um grupo topológico (G, · , T) em termos da coleção dos conjuntos grosseiramente limitados em (G, E_L) e, com isso, provar que a estrutura coarse à esquerda associada ao grupo aditivo de um espaço normado coincide com a estrutura coarse limitada induzida pela norma.