Estrutura uniforme de espaços de Banach

• Autor(a) principal: João Gabriel Vitor de Carvalho
• Data de Publicação: 2021
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP
• Texto Completo: https://doi.org/10.11606/D.45.2021.tde-28042021-180254

Um problema comum em matemática é determinar quando dois objetos têm uma mesma estrutura, por exemplo, determinar quando dois espaços topológicos são homeomorfos. Em Análise Funcional, sabe-se que dois espaços de Banach isomorfos têm a mesma estrutura de espaço vetorial topológico, mas é possível que outras classes de funções entre espaços de Banach também preservem esta estrutura. Um resultado forte nesta linha é o clássico teorema de Mazur-Ulam, que afirma que uma isometria sobrejetora entre espaços de Banach reais é uma função afim, logo isometrias também preservam a estrutura linear de espaços de Banach reais. Este resultado motiva o estudo sobre o quanto da estrutura linear é preservada por outras classes de funções não lineares. No capítulo 3 trabalha-se com isomorfismos e mergulhos Lipschitz entre espaços de Banach. São desenvolvidos conceitos como conjuntos Haar-nulos, diferenciabilidade de Gâteaux e propriedade de Radon-Nikodým. É mostrado um resultado de Heinrich e Mankiewicz que diz que se X e Y são espaços de Banach e Y tem a propriedade de Radon-Nikodým, entao todo mergulho Lipschitz f: X \\to Y pode ser linearizado através da derivada de Gâteaux. Este resultado irá abrir portas para vários outros resultados a respeito de isomorfismos Lipschitz e propriedades estáveis sob isomorfismos Lipschitz. Mostra-se por exemplo, que para 1 < p < \\infty, todo espaço de Banach Lipschitz isomorfo a um espaço L_ é também linearmente isomorfo a L_. No capítulo 4 trabalha-se com os homeomorfismos uniformes. Resultados como o princípio de Gorelik e da teoria de Ramsey possibilitam estimativas relacionadas aos homeomorfismos uniformes que restringirão quando dois espaços de Banach podem ser uniformemente homeomorfos. Pode-se então provar o clássico teorema de Johnson, Lindenstrauss e Schechtman à respeito da estrutura uniforme dos espaços \\ell_\'s: se 1 < p < \\infty e X é um espaço de Banach uniformemente homeomorfo a \\ell_, então X é linearmente isomorfo a \\ell_. Enfim, prova-se o mesmo para os espaços \\ell_\\oplus\\ell_, onde 1 < p < q < 2 ou 2 < p < q < \\infty e depois para os espaços \\ell_\\oplus\\ell_, onde 1 < p < 2 < q < \\infty. Aquele estabelecido por Johnson, Lindenstrauss e Schechtman e este estabelecido por Kalton e Randrianarivony.