Uma conjectura de Erdos e Hajnal
Autor(a) principal: | |
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Data de Publicação: | 2023 |
Tipo de documento: | Dissertação |
Idioma: | por |
Título da fonte: | Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP |
Texto Completo: | https://doi.org/10.11606/D.45.2023.tde-15032023-190119 |
Resumo: | Um resultado de Erdos demonstra a existência de grafos com número cromático e cintura arbitrariamente grandes. Temos então que um clique suficientemente grande contém um grafo com número cromático e cintura grandes como subgrafo, porém muitos grafos de interesse não necessariamente contém cliques grandes, então é interessante encontrar outra condição que garanta a existência de subgrafos com número cromático e cintura grandes. Uma conjectura de Erdos e Hajnal diz que todo grafo com número cromático suficientemente grande contém um subgrafo com número cromático e cintura grandes. O objetivo deste trabalho é estudar tal conjectura. O texto começa com uma breve apresentação de construções livres de triângulos. Em particular, é demonstrada uma construção de Codenotti, Pudlák e Resta, por meio de planos projetivos. O tópico principal do texto começa com uma demonstração de Rödl de que todo grafo com número cromático suficientemente grande contém um subgrafo livre de triângulos e com número cromático grande. Em sequência, apresentaremos uma demonstração de que grafos com número cromático suficientemente grande contém algum circuito ímpar grande. Apresentaremos também um resultado de Mohar e Wu, que demonstra que a família dos grafos de Kneser respeita a conjectura de Erdos e Hajnal. Outro resultado apresentado é de Gábor Tardos, demonstrando que a família dos shift graphs respeita a conjectura de Erdos e Hajnal. E por fim apresentaremos alguns breves resultados sobre os type graphs, mostrando casos que respeitam a conjectura de Erdos e Hajnal. |
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info:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesis Uma conjectura de Erdos e Hajnal An Erdos-Hajnal conjecture 2023-01-31Yoshiharu KohayakawaCristiane Maria SatoLucas Colucci Cavalcante de SouzaRodrigo Aparecido EnjuUniversidade de São PauloCiência da ComputaçãoUSPBR Chromatic number Cintura Girth Grafo de Kneser Kneser graph Número cromático Shift graph Shift graph Type graph Type graph Um resultado de Erdos demonstra a existência de grafos com número cromático e cintura arbitrariamente grandes. Temos então que um clique suficientemente grande contém um grafo com número cromático e cintura grandes como subgrafo, porém muitos grafos de interesse não necessariamente contém cliques grandes, então é interessante encontrar outra condição que garanta a existência de subgrafos com número cromático e cintura grandes. Uma conjectura de Erdos e Hajnal diz que todo grafo com número cromático suficientemente grande contém um subgrafo com número cromático e cintura grandes. O objetivo deste trabalho é estudar tal conjectura. O texto começa com uma breve apresentação de construções livres de triângulos. Em particular, é demonstrada uma construção de Codenotti, Pudlák e Resta, por meio de planos projetivos. O tópico principal do texto começa com uma demonstração de Rödl de que todo grafo com número cromático suficientemente grande contém um subgrafo livre de triângulos e com número cromático grande. Em sequência, apresentaremos uma demonstração de que grafos com número cromático suficientemente grande contém algum circuito ímpar grande. Apresentaremos também um resultado de Mohar e Wu, que demonstra que a família dos grafos de Kneser respeita a conjectura de Erdos e Hajnal. Outro resultado apresentado é de Gábor Tardos, demonstrando que a família dos shift graphs respeita a conjectura de Erdos e Hajnal. E por fim apresentaremos alguns breves resultados sobre os type graphs, mostrando casos que respeitam a conjectura de Erdos e Hajnal. A result by Erdos shows that there exist graphs with arbitrarily large chromatic number and girth. Thus a sufficiently large clique contains a subgraph with large chromatic number and girth, but many graphs do not have a large clique, hence it is interesting to find a different condition that guarantees the existence of a subgraph with large chromatic number and girth. A conjecture by Erdos and Hajnal states that every graph with sufficiently large chromatic number contains a subgraph with large chromatic number and girth. The objective of this text is to study this conjecture. The text begins with a brief discussion of triangle-free constructions. In particular, we show a construction by Codenotti, Pudlák and Resta, based on projective planes. The main topic begins with a proof by Rödl, that every graph with sufficiently large chromatic number contains a triangle-free subgraph with large chromatic number. We follow with a proof that every graph with sufficiently large chromatic number contains a large odd cycle. We then show a result by Mohar and Wu, which shows that the Kneser graphs respect the Erdos-Hajnal conjecture. Another result by Gábor Tardos proves that shift graphs also respect the Erdos-Hajnal conjecture. Finally, we show some brief results about type graphs, showing some cases that follow the Erdos-Hajnal conjecture. https://doi.org/10.11606/D.45.2023.tde-15032023-190119info:eu-repo/semantics/openAccessporreponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USPinstname:Universidade de São Paulo (USP)instacron:USP2023-12-21T19:00:42Zoai:teses.usp.br:tde-15032023-190119Biblioteca Digital de Teses e Dissertaçõeshttp://www.teses.usp.br/PUBhttp://www.teses.usp.br/cgi-bin/mtd2br.plvirginia@if.usp.br|| atendimento@aguia.usp.br||virginia@if.usp.bropendoar:27212023-12-22T12:41:40.214494Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP - Universidade de São Paulo (USP)false |
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