Modelo de Minkwoski para a Geometria de Laguerre

• Autor(a) principal: Portugal, Ricardo Filipe Marques
• Data de Publicação: 2010
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/10400.6/1848
• topic: Geometria de Laguerre; Geometria de Lie; Geometria de Mobius; Espaço de Minkowski; Teorema de Pitágoras-Laguerre

Este trabalho iniciou-se com um estudo prévio de pontos notáveis associados a três circunferências ([6], ver anexo) a partir de um lema de incidência no plano projectivo ([6], Lema 1). Particularizando ao caso das três circunferências estarem ex-inscritas a um triangulo, este lema parece estabelecer uma caracterização geométrica unificadora de muitos centros de Kimberling. Querendo explorar mais profundamente a riqueza geométrica destas configuracões, acreditamos que, para tal, seria interessante estabelecer uma generalização do Teorema de Ceva. Ora, a geometria de Laguerre será talvez o contexto teórico adequado a esta generalização. De facto, nesta geometria, pontos e circunferências são tratados como objectos matemáticos equivalentes. Por outro lado, em trabalhos recentes, tem sido colocada em evidencia a possibilidade de utilizar esta geometria, no ˆâmbito do seu modelo de Minkowski, para o estudo de problemas clássicos em geometria euclidiana. Neste trabalho procurámos apresentar de forma completa e detalhada as ideias e resultados principais que estão presentes em [2]. Em particular, começamos por definir, de acordo com os princípios de Félix Klein e do seu Programa de Erlangen, as geometrias de Lie, Laguerre e Mobius. De seguida, descrevemos o modelo de Minkowski para a geometria de Laguerre. Este ´e um modelo que é fácil de manipular e que evidencia de forma clara que o espaço subjacente `a geometria de Laguerre ´e um espaço homogéneo. Por fim, enunciamos e provamos um resultado que generaliza o clássico Teorema de Pitágoras. Em trabalho futuro, procuraremos aplicar algumas destas ideias na perspetiva de encontrar uma generalização adequada do Teorema de Ceva.