Funções de variação limitada

• Autor(a) principal: Pacheco, Maria F.
• Data de Publicação: 2001
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/10198/1267
• topic: Teoria da medida; Análise funcional

As funções de variação limitada têm-se revelado um importante instrumento de trabalho, não só na análise, onde aparecem de maneira natural, como em diversas outras áreas da Matemática, nomeadamente a Geometria e os Sistemas Dinâmicos. A noção clássica de variação limitada para funções reais de variável real usa de maneira importante a ordenação de R, razão pela qual não e directamente generalizável a dimensões mais altas. Uma noção um pouco menos exigente de variação - a variação essencial - tem uma extensão natural para dimensões superiores, perdendo contudo algumas das boas propriedades geométricas da definição clássica. Algumas das limitações foram ultrapassadas com o trabalho de Giusti [12] que introduziu uma definição de função de variação limitada (equivalente a variação essencial) conservando muitas das boas propriedades da definição clássica em dimensão 1. Este trabalho tem por objectivo fazer um estudo detalhado das funções de variação limitada dando um relevo muito especial a sua definição em dimensão superior. Serão apontados os principais resultados que permanecem validos em dimensão mais alta, apresentando-se contra-exemplos ilustrativos para os casos em que tal não acontece. Em particular, veremos que em dimensão maior do que 1 uma função de variação limitada não é necessariamente limitada. Esse facto constitui uma das perdas significativas quando se passa para dimensão superior, mas e atenuado por se poder provar que o espaço das funções de variação limitada e mergulhável em algum Lp. Apresentaremos também algumas das aplicações das funções de variação limitada. Faremos aplicações geométricas, nomeadamente a extensão da noção de perímetro para conjuntos muito mais gerais e o estudo da existência de superfícies minimais. Outra das aplicações que faremos será aos Sistemas Dinâmicos e prende-se com o estudo da existência de medidas invariantes absolutamente contínuas. As medidas invariantes absolutamente contínuas são particularmente relevantes no estudo dos sistemas dinâmicos caóticos. Tais sistemas são, de um ponto de vista determinístico, completamente imprevisíveis. Contudo, exibem muitas vezes medidas que descrevem o comportamento estatístico da maioria das orbitas (quase todo o ponto em relação a essa medida). Em termos práticos, pretende-se que a maioria da orbitas" para alguma medida invariante tenha algum significado em termos da medida de Lebesgue. Para tal, é suficiente que essas medidas invariantes sejam absolutamente contínuas em relação a medida de Lebesgue. Este trabalho está estruturado da seguinte maneira: No Capítulo 1 são revistos alguns conceitos fundamentais sobre medida e integração e análise funcional. Os resultados são apresentados sem demonstrações, uma vez que estas podem ser facilmente encontradas nas referências bibliográficas, sendo a sua introdução feita neste trabalho apenas com o intuito de uniformizar notação e esclarecer algum tópico menos claro para o leitor. No Capítulo 2 introduzimos o conceito de função de variação limitada na recta, conceito intimamente relacionado com o de função monótona, como veremos. Com vista a estender essa teoria a dimensão superior introduzimos o conceito de variação essencial (limitada) e demonstramos algumas das propriedades fundamentais deste tipo de funções. No Capítulo 3 generalizamos o conceito de variação essencial limitada a dimensão superior. São apresentados resultados que se mantêm com a generalização e mencionados outros que se perdem com o aumento da dimensão. Neste Capítulo introduzimos outras definições possíveis de variação limitada e provamos a sua equivalência a definição dada. O conjunto das funções de variação limitada e munido de uma norma sob a qual tem uma estrutura de espaço de Banach, para o qual provamos vários resultados importantes, nomeadamente resultados de compacidade e aproximação por funções deriváveis. Com vista a provar um resultado fundamental nas aplicações aos Sistemas Dinâmicos, introduzimos a noção de traço de uma função de variação limitada. No Capítulo 4 estudamos as aplicações geométricas das funções de variação limitada. Apresentamos uma definição de perímetro de um conjunto que, para conjuntos com fronteira suficientemente regular, coincide com a noção tradicional e estudamos o caso particular dos conjuntos cuja função característica tem variação limitada, os conjuntos de Caccioppoli. Ainda neste Capítulo, dedicamos uma secção a determinação de superfícies minimais, isto é, as superfícies com a menor área de entre todas aquelas que têm uma certa curva como fronteira. O Capítulo 5 e dedicado as aplicações das funções de variação limitada aos Sistemas Dinâmicos, particularmente ao estudo da existência das medidas invariantes absolutamente contínuas (em relação a medida de Lebesgue md): O principal instrumento deste Capítulo e o operador de transferência ou operador de Perron - Frobenius, cujos pontos fixos são precisamente densidades de medidas invariantes absolutamente contínuas. Estudamos algumas das propriedades mais importantes desse operador, nomeadamente a continuidade e propriedades de contracção. Ainda neste Capítulo estudam-se as transformações expansoras por partes. O objectivo e chegar a generalização para dimensões mais altas do resultado apresentado em 1973 por Lasota-Yorke [16] para o caso unidimensional. Num apêndice final apresentamos a noção de função regularizante e algumas das suas propriedades, utilizadas em demonstrações ao longo deste trabalho.