Dualidades naturais (teoria das categorias)

• Autor(a) principal: Oliveira, Sandra Margarida Barreto
• Data de Publicação: 2006
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal (Repositórios Cientìficos)
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/10773/4852
• topic: Matemática; Categorias (Matemática); Dualidade (Matemática)

Foi em 1945 que as categorias foram introduzidas por Samuel Eiienberg e por Saunders Mac-Lane. Inicialmente foram aplicadas com o objectivo de simplificar certos aspectos da topologia. No entanto, estas noções revelaram-se extremamente úteis na unificação de diversos conceitos em muitos outros raiiiix da Matemática. De facto, muitas construções nas várias áreas da Matemática têm uma descrição semelhante e a teoria das categorias, e em particular a teoria das dualidades, fornecem uma descrição uniforme destas construções. Em qualquer teoria matemática, objectos isomorfos são indistinguíveis em termos dessa teoria, e o seu objectivo é identificar e estudar construções e propriedades que são invariantes através dos isomorfismos da teoria (assim, por exemplo, a Álgebra estuda propriedades que não são alteradas, ou destruídas, quando um grupo é substituído por outro isomorfo a ele). Na teoria das categorias, um functor F:A-+B diz-se um isomoríismo se existir um functor G:B+A tal que: GoF=id e FoG=id. Neste caso as categorias A e B dizem-se isomorfas, AzB. Ao longo da dissertação, apresentar-se-ão numerosos exemplos de entidades isomorfas, que podem ser consideradas como "semelhantes" e ver-se-á que na Teoria das Categorias "é isomorfo a" pode ser visto como um sinónimo de "é igual a", e que a maior parte das definições e construções que se podem elaborar numa categoria não especificam "entidades únicas" mas, apenas, a menos de isomorfismo. Esta noção de "semelhança" é no entanto mais esWi do que necessário. De facto, se F tem inverso G entao, para cada A-objecto a e cada Bobjecto b, tem-se: a=G(F(a)) e b=F(G(b)); quando é suficiente, sob o ponto de vista da Teoria das Categorias, considerar A e 8 como "semelhantes" se se tem apenas: a=G(F(a)) em A e brF(G(b)) em B. E esta a noção de "igualdade" (equivalência) que é considerada neste trabalho. Duas categorias A e B são equivalentes, A=B, se existir um functor e isomorfismos naturais ~:id=GoF e o:id=FoG. Para o presente trabalho, são de especial interesse as equivalências entre categorias (conhecidas) e duais de categorias (conhecidas), e assim sendo, este trabalho propõe-se a estudar formas de obter equivalências de categorias e â estudar mais pormenorizadamente alguns casos concretos de categorias onde será aplicada a teoria das dualidades, nomeadamente, CompHaus é dualmente equivalente a C*-AIg (onde CompHaus é a categoria dos espaços compactos e separados e funções contfnuas, e C*-Alg a categoria das C*-Algebras e homomoríismos algébricos) e Bool é dualmente equivalente a Stone (onde Bool d a categoria das álgebras booleanas e homomo~smos booleanos, e Stone a categoria dos espaços compactos e separados totalmente desconexos e funções continuas).