Diagonalização de operadores e formas lineares: cônicas e quádricas
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Data de Publicação: | 2021 |
Tipo de documento: | Dissertação |
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Título da fonte: | Repositório Institucional da UFSCAR |
Texto Completo: | https://repositorio.ufscar.br/handle/ufscar/13940 |
Resumo: | In this work we will make applications of Linear Algebra to conics and quadrics. We will discuss the rotation and translation of these particular curves and surfaces and understand why the rotation process relates to with matrix diagonalization. We will see that the quadratic form of a conic or a quadric is associated to a symmetric bilinear shape and therefore to a self-adjoint linear operator. Given this fact and through theorems of Linear Algebra, we will show that the vector spaces R2 and R3 admit an orthonormal basis consisting of characteristics vectors. That basis that will be used to create a new system of orthogonal axis under which the conical or quadric will no longer be rotated, that is, the matrix of the quadratic form will become diagonal and with that property the quadratic form will lose mixed terms. In addition, we will bring examples of conics and quadrics in their canonical forms and we will also show the degenerate cases. We will still show some examples of conics and an example of quadric when they are rotated and translated in relation to the canonical cartesian system. |
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Given this fact and through theorems of Linear Algebra, we will show that the vector spaces R2 and R3 admit an orthonormal basis consisting of characteristics vectors. That basis that will be used to create a new system of orthogonal axis under which the conical or quadric will no longer be rotated, that is, the matrix of the quadratic form will become diagonal and with that property the quadratic form will lose mixed terms. In addition, we will bring examples of conics and quadrics in their canonical forms and we will also show the degenerate cases. We will still show some examples of conics and an example of quadric when they are rotated and translated in relation to the canonical cartesian system.Neste trabalho vamos fazer aplicações de Álgebra Linear às cônicas e às quádricas. Iremos discutir sobre a rotação e a translação dessas particulares curvas e superfícies e entender porque o processo de rotação tem a ver com a diagonalização de matrizes. Veremos que a forma quadrática de uma cônica ou quádrica está associada a uma forma bilinear simétrica e, portanto, a um operador linear autoadjunto. Diante desse fato e através de teoremas de Álgebra Linear, mostraremos que os espaços vetoriais R2 e R3 admitem uma base ortonormal constituída de autovetores. Base essa que será utilizada para criar um novo sistema ortogonal de eixos, sob o qual, a cônica ou quádrica não estará mais rotacionada, ou seja, a matriz da forma quadrática se tornará diagonal e, com isso, a forma quadrática perderá o(s) termo(s) misto(s). Além disso, traremos exemplos de cônicas e quádricas em suas formas canônicas e, também, mostraremos os casos degenerados. Ainda mostraremos alguns exemplos de cônicas e um exemplo de quádrica quando estão rotacionadas e transladadas em relação ao sistema cartesiano canônico.Não recebi financiamentoporUniversidade Federal de São CarlosCâmpus São CarlosPrograma de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMATUFSCarAttribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Brazilhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/br/info:eu-repo/semantics/openAccessBase otonormalCônicaDiagonalizaçãoForma bilinear simétricaOperador autoadjuntoQuádricaOrthonormal baseConicDiagonalizationSymmetric bilinear shapeSelf-adjointoperatorQuadricCIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA::ALGEBRACIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA::MATEMATICA APLICADADiagonalização de operadores e formas lineares: cônicas e quádricasDiagonalization of linear operators and shapes: conics and quadricsinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesis600600b3bcc5d4-e52a-4d89-9546-afbac7f4e935reponame:Repositório Institucional da UFSCARinstname:Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR)instacron:UFSCARORIGINALdissertacao-joaov.pdfdissertacao-joaov.pdfArtigo principalapplication/pdf2045815https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/13940/1/dissertacao-joaov.pdf596b24e5293670402f80e83efd12f987MD51carta orientdor.pdfcarta orientdor.pdfCarta Comprovanteapplication/pdf109550https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/13940/2/carta%20orientdor.pdf6d274ff788426c95dadefbbd0b1f99a0MD52CC-LICENSElicense_rdflicense_rdfapplication/rdf+xml; charset=utf-8811https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/13940/3/license_rdfe39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34MD53TEXTdissertacao-joaov.pdf.txtdissertacao-joaov.pdf.txtExtracted texttext/plain165631https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/13940/4/dissertacao-joaov.pdf.txtf198029e6978c54db9ed6131f3280883MD54carta orientdor.pdf.txtcarta orientdor.pdf.txtExtracted texttext/plain1https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/13940/6/carta%20orientdor.pdf.txt68b329da9893e34099c7d8ad5cb9c940MD56THUMBNAILdissertacao-joaov.pdf.jpgdissertacao-joaov.pdf.jpgIM Thumbnailimage/jpeg7157https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/13940/5/dissertacao-joaov.pdf.jpgb3d54c1383cdc70cd131ad8c7c4ae35bMD55carta orientdor.pdf.jpgcarta orientdor.pdf.jpgIM Thumbnailimage/jpeg14333https://repositorio.ufscar.br/bitstream/ufscar/13940/7/carta%20orientdor.pdf.jpg319a081a93ccd5a034d8b74dbe8e415fMD57ufscar/139402023-09-18 18:32:07.288oai:repositorio.ufscar.br:ufscar/13940Repositório InstitucionalPUBhttps://repositorio.ufscar.br/oai/requestopendoar:43222023-09-18T18:32:07Repositório Institucional da UFSCAR - Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR)false |
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