Final-state approximate control for the heat equation
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Data de Publicação: | 2018 |
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Título da fonte: | Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UERJ |
Texto Completo: | http://www.bdtd.uerj.br/handle/1/16985 |
Resumo: | Neste trabalho, dois tipos de problemas de controle em malha aberta são abordados em conexão com a equação linear de calor em domínios retangulares com condições de contorno tipo Dirichlet na qual a função de controle (dependendo apenas do tempo) constitui um termo de fonte. Em ambos os casos, o objetivo principal ´e impor um estado prescrito (distribuição de temperatura) no instante final de um dado intervalo de tempo. Sinais de controle serão selecionados com base em dois problemas de otimização, um sem restrições e outro envolvendo restrições nas magnitudes máximas dos valores obtidos pelos sinais de controle no intervalo de tempo em questão. Ambos os problemas têm o mesmo custo-funcional quadrático. Aproximações para os sinais de controle ótimo são obtidos com base na aproximação de Galerkin, de dimensão finita, para a equação linear de calor. Como consequência, os sinais de controle ótimos resultantes podem ser calculados de forma eficaz. Resultados numéricos para as equações de calor lineares 1D e 2D são apresentados para ilustrar os resultados mencionados acima. Com base nos resultados obtidos para a equação de calor linear, um esquema de linearização heurística é introduzido para tratar problemas de controle de estado final para a equação de calor não-linear. Este esquema baseia-se numa linearização por partes das ODEs não-lineares de dimensão finita correspondentes às aproximações de Galerkin da equação de calor não- linear. Alguns resultados numéricos também são apresentados para ilustrar este esquema de linearização heurística para a equação de calor não-linear 1D. |
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Tese (Doutorado em Engenharia Mecânica) - Faculdade de engenharia, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2018.http://www.bdtd.uerj.br/handle/1/16985Neste trabalho, dois tipos de problemas de controle em malha aberta são abordados em conexão com a equação linear de calor em domínios retangulares com condições de contorno tipo Dirichlet na qual a função de controle (dependendo apenas do tempo) constitui um termo de fonte. Em ambos os casos, o objetivo principal ´e impor um estado prescrito (distribuição de temperatura) no instante final de um dado intervalo de tempo. Sinais de controle serão selecionados com base em dois problemas de otimização, um sem restrições e outro envolvendo restrições nas magnitudes máximas dos valores obtidos pelos sinais de controle no intervalo de tempo em questão. Ambos os problemas têm o mesmo custo-funcional quadrático. Aproximações para os sinais de controle ótimo são obtidos com base na aproximação de Galerkin, de dimensão finita, para a equação linear de calor. Como consequência, os sinais de controle ótimos resultantes podem ser calculados de forma eficaz. Resultados numéricos para as equações de calor lineares 1D e 2D são apresentados para ilustrar os resultados mencionados acima. Com base nos resultados obtidos para a equação de calor linear, um esquema de linearização heurística é introduzido para tratar problemas de controle de estado final para a equação de calor não-linear. Este esquema baseia-se numa linearização por partes das ODEs não-lineares de dimensão finita correspondentes às aproximações de Galerkin da equação de calor não- linear. Alguns resultados numéricos também são apresentados para ilustrar este esquema de linearização heurística para a equação de calor não-linear 1D.In this work, two types of open-loop control problems are addressed in connection with the linear heat equation in rectangular domains with Dirichlet type boundary conditions in which the control function (depending only on time) constitutes a source term. In both cases, the main objective is to impose a prescribed state (temperature distribution) at the final instant of a given time-interval. Control signals are to be selected on the basis of two optimization problems, one unconstrained and the other one involving constraints on the maximum magnitudes of the values taken by the control signals on the time-interval in question. Both problems have the same quadratic cost-functional. Approximations for the optimal control signals are obtained on the basis of finite-dimensional Galerkin approximation for the linear heat equation. As a consequence, the resulting optimal control signals can be effectively computed. Numerical results for the 1D and 2D linear heat equations are presented to illustrate the results mentioned above. On the basis of the results obtained for the linear heat equation, a heuristic linearization scheme is introduced to address final-state control problems for the non-linear heat equation. This scheme rests on a piecewise linearization of the finite-dimensional, non-linear ODEs corresponding to Galerkin approximations of the non-linear heat equation. Some numerical results are also presented to illustrate this heuristic linearization scheme for the 1D non-linear heat equation.Submitted by Julia CTC/B (julia.vieira@uerj.br) on 2021-12-07T18:32:24Z No. of bitstreams: 1 Tese - Marlon Michael López Flores - 2018 - Completo.pdf: 1817561 bytes, checksum: 4efd33f3b4199c18f2556ce39c227bb5 (MD5)Made available in DSpace on 2021-12-07T18:32:24Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Tese - Marlon Michael López Flores - 2018 - Completo.pdf: 1817561 bytes, checksum: 4efd33f3b4199c18f2556ce39c227bb5 (MD5) Previous issue date: 2018-07-03Fundação Carlos Chagas Filho de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro - FAPERJapplication/pdfengUniversidade do Estado do Rio de JaneiroPrograma de Pós-Graduação em Engenharia MecânicaUERJBrasilCentro de Tecnologia e Ciências::Faculdade de EngenhariaMechanical engineeringLinear differential equationsTemperature controlGalerkin, MethodsMathematical modelsEngenharia mecânicaEquações diferenciais linearesControle de temperaturaGalerkin, MétodosModelos matemáticosENGENHARIAS::ENGENHARIA MECANICA::FENOMENOS DE TRANSPORTEFinal-state approximate control for the heat equationControle aproximado do estado final para a equação de calorinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/doctoralThesisinfo:eu-repo/semantics/openAccessreponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UERJinstname:Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ)instacron:UERJORIGINALTese - Marlon Michael López Flores - 2018 - Completo.pdfTese - Marlon Michael López Flores - 2018 - Completo.pdfapplication/pdf1817561http://www.bdtd.uerj.br/bitstream/1/16985/2/Tese+-+Marlon+Michael+L%C3%B3pez+Flores+-+2018+-+Completo.pdf4efd33f3b4199c18f2556ce39c227bb5MD52LICENSElicense.txtlicense.txttext/plain; charset=utf-82123http://www.bdtd.uerj.br/bitstream/1/16985/1/license.txte5502652da718045d7fcd832b79fca29MD511/169852024-02-27 15:31:06.167oai:www.bdtd.uerj.br:1/16985Tk9UQTogTElDRU7Dh0EgUkVERSBTSVJJVVMKRXN0YSBsaWNlbsOnYSBkZSBleGVtcGxvIMOpIGZvcm5lY2lkYSBhcGVuYXMgcGFyYSBmaW5zIGluZm9ybWF0aXZvcy4KCkxJQ0VOw4dBIERFIERJU1RSSUJVScOHw4NPIE7Dg08tRVhDTFVTSVZBCgpDb20gYSBhcHJlc2VudGHDp8OjbyBkZXN0YSBsaWNlbsOnYSwgdm9jw6ogKG8gYXV0b3IgKGVzKSBvdSBvIHRpdHVsYXIgZG9zIGRpcmVpdG9zIGRlIGF1dG9yKSBjb25jZWRlIMOgIFVuaXZlcnNpZGFkZSAKZG8gRXN0YWRvIGRvIFJpbyBkZSBKYW5laXJvIChVRVJKKSBvIGRpcmVpdG8gbsOjby1leGNsdXNpdm8gZGUgcmVwcm9kdXppciwgIHRyYWR1emlyIChjb25mb3JtZSBkZWZpbmlkbyBhYmFpeG8pLCBlL291IApkaXN0cmlidWlyIGEgc3VhIHRlc2Ugb3UgZGlzc2VydGHDp8OjbyAoaW5jbHVpbmRvIG8gcmVzdW1vKSBwb3IgdG9kbyBvIG11bmRvIG5vIGZvcm1hdG8gaW1wcmVzc28gZSBlbGV0csO0bmljbyBlIAplbSBxdWFscXVlciBtZWlvLCBpbmNsdWluZG8gb3MgZm9ybWF0b3Mgw6F1ZGlvIG91IHbDrWRlby4KClZvY8OqIGNvbmNvcmRhIHF1ZSBhIFVFUkogcG9kZSwgc2VtIGFsdGVyYXIgbyBjb250ZcO6ZG8sIHRyYW5zcG9yIGEgc3VhIHRlc2Ugb3UgZGlzc2VydGHDp8OjbyAKcGFyYSBxdWFscXVlciBtZWlvIG91IGZvcm1hdG8gcGFyYSBmaW5zIGRlIHByZXNlcnZhw6fDo28uCgpWb2PDqiB0YW1iw6ltIGNvbmNvcmRhIHF1ZSBhIFVFUkogcG9kZSBtYW50ZXIgbWFpcyBkZSB1bWEgY8OzcGlhIGEgc3VhIHRlc2Ugb3UgCmRpc3NlcnRhw6fDo28gcGFyYSBmaW5zIGRlIHNlZ3VyYW7Dp2EsIGJhY2stdXAgZSBwcmVzZXJ2YcOnw6NvLgoKVm9jw6ogZGVjbGFyYSBxdWUgYSBzdWEgdGVzZSBvdSBkaXNzZXJ0YcOnw6NvIMOpIG9yaWdpbmFsIGUgcXVlIHZvY8OqIHRlbSBvIHBvZGVyIGRlIGNvbmNlZGVyIG9zIGRpcmVpdG9zIGNvbnRpZG9zIApuZXN0YSBsaWNlbsOnYS4gVm9jw6ogdGFtYsOpbSBkZWNsYXJhIHF1ZSBvIGRlcMOzc2l0byBkYSBzdWEgdGVzZSBvdSBkaXNzZXJ0YcOnw6NvIG7Do28sIHF1ZSBzZWphIGRlIHNldSAKY29uaGVjaW1lbnRvLCBpbmZyaW5nZSBkaXJlaXRvcyBhdXRvcmFpcyBkZSBuaW5ndcOpbS4KCkNhc28gYSBzdWEgdGVzZSBvdSBkaXNzZXJ0YcOnw6NvIGNvbnRlbmhhIG1hdGVyaWFsIHF1ZSB2b2PDqiBuw6NvIHBvc3N1aSBhIHRpdHVsYXJpZGFkZSBkb3MgZGlyZWl0b3MgYXV0b3JhaXMsIHZvY8OqIApkZWNsYXJhIHF1ZSBvYnRldmUgYSBwZXJtaXNzw6NvIGlycmVzdHJpdGEgZG8gZGV0ZW50b3IgZG9zIGRpcmVpdG9zIGF1dG9yYWlzIHBhcmEgY29uY2VkZXIgw6AgVUVSSiBvcyBkaXJlaXRvcyBhcHJlc2VudGFkb3MgbmVzdGEgbGljZW7Dp2EsIGUgcXVlIGVzc2UgbWF0ZXJpYWwgZGUgcHJvcHJpZWRhZGUgZGUgdGVyY2Vpcm9zIGVzdMOhIGNsYXJhbWVudGUgCmlkZW50aWZpY2FkbyBlIHJlY29uaGVjaWRvIG5vIHRleHRvIG91IG5vIGNvbnRlw7pkbyBkYSB0ZXNlIG91IGRpc3NlcnRhw6fDo28gb3JhIGRlcG9zaXRhZGEuCgpDQVNPIEEgVEVTRSBPVSBESVNTRVJUQcOHw4NPIE9SQSBERVBPU0lUQURBIFRFTkhBIFNJRE8gUkVTVUxUQURPIERFIFVNIFBBVFJPQ8ONTklPIE9VIApBUE9JTyBERSBVTUEgQUfDik5DSUEgREUgRk9NRU5UTyBPVSBPVVRSTyBPUkdBTklTTU8gUVVFIE7Dg08gU0VKQSBFU1RBClVOSVZFUlNJREFERSwgVk9Dw4ogREVDTEFSQSBRVUUgUkVTUEVJVE9VIFRPRE9TIEUgUVVBSVNRVUVSIERJUkVJVE9TIERFIFJFVklTw4NPIENPTU8gClRBTULDiU0gQVMgREVNQUlTIE9CUklHQcOHw5VFUyBFWElHSURBUyBQT1IgQ09OVFJBVE8gT1UgQUNPUkRPLgoKQSBVbml2ZXJzaWRhZGUgZG8gRXN0YWRvIGRvIFJpbyBkZSBKYW5laXJvIChVRVJKKSBzZSBjb21wcm9tZXRlIGEgaWRlbnRpZmljYXIgY2xhcmFtZW50ZSBvIHNldSBub21lIChzKSBvdSBvKHMpIG5vbWUocykgZG8ocykgCmRldGVudG9yKGVzKSBkb3MgZGlyZWl0b3MgYXV0b3JhaXMgZGEgdGVzZSBvdSBkaXNzZXJ0YcOnw6NvLCBlIG7Do28gZmFyw6EgcXVhbHF1ZXIgYWx0ZXJhw6fDo28sIGFsw6ltIGRhcXVlbGFzIApjb25jZWRpZGFzIHBvciBlc3RhIGxpY2Vuw6dhLgo=Biblioteca Digital de Teses e Dissertaçõeshttp://www.bdtd.uerj.br/PUBhttps://www.bdtd.uerj.br:8443/oai/requestbdtd.suporte@uerj.bropendoar:29032024-02-27T18:31:06Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ)false |
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Neste trabalho, dois tipos de problemas de controle em malha aberta são abordados em conexão com a equação linear de calor em domínios retangulares com condições de contorno tipo Dirichlet na qual a função de controle (dependendo apenas do tempo) constitui um termo de fonte. Em ambos os casos, o objetivo principal ´e impor um estado prescrito (distribuição de temperatura) no instante final de um dado intervalo de tempo. Sinais de controle serão selecionados com base em dois problemas de otimização, um sem restrições e outro envolvendo restrições nas magnitudes máximas dos valores obtidos pelos sinais de controle no intervalo de tempo em questão. Ambos os problemas têm o mesmo custo-funcional quadrático. Aproximações para os sinais de controle ótimo são obtidos com base na aproximação de Galerkin, de dimensão finita, para a equação linear de calor. Como consequência, os sinais de controle ótimos resultantes podem ser calculados de forma eficaz. Resultados numéricos para as equações de calor lineares 1D e 2D são apresentados para ilustrar os resultados mencionados acima. Com base nos resultados obtidos para a equação de calor linear, um esquema de linearização heurística é introduzido para tratar problemas de controle de estado final para a equação de calor não-linear. Este esquema baseia-se numa linearização por partes das ODEs não-lineares de dimensão finita correspondentes às aproximações de Galerkin da equação de calor não- linear. Alguns resultados numéricos também são apresentados para ilustrar este esquema de linearização heurística para a equação de calor não-linear 1D. |
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