A conjectura de Golomb-Welch com raio 2 para infinitas dimensões

Detalhes bibliográficos
Autor(a) principal: Souza, Raphael Cascelli dos Santos
Data de Publicação: 2023
Tipo de documento: Dissertação
Idioma: por
Título da fonte: Repositório Institucional da UFJF
Texto Completo: https://repositorio.ufjf.br/jspui/handle/ufjf/15963
Resumo: Um importante conceito da teoria de códigos é o do raio de empacotamento de um código, o qual definimos como sendo o raio máximo que nos permite cobrir o espaço em que o código está contido com bolas disjuntas centradas nas palavras do código. Neste sentido, os códigos perfeitos são códigos tais que não ocorre o caso de uma palavra errada estar fora de todas as bolas centradas nas palavras do código. O fato de um código ser perfeito ou não depende da métrica considerada. Nesse trabalho, vamos apresentar um estudo sobre os códigos perfeitos na métrica de Lee e os critérios para otimizar o raio em torno dos elementos do código. Por fim, apresentaremos a Conjectura de Golomb-Welch (1968) a qual afirma que não existem códigos lineares perfeitos de Lee para certos valores de dimensão e raio para alfabetos grandes. A demonstração geral ainda é um problema em aberto da Teoria dos Códigos, porém para raio 2, veremos uma demonstração de sua validade para infinitas dimensões relacionadas com um conjunto específico de números primos.
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Por fim, apresentaremos a Conjectura de Golomb-Welch (1968) a qual afirma que não existem códigos lineares perfeitos de Lee para certos valores de dimensão e raio para alfabetos grandes. A demonstração geral ainda é um problema em aberto da Teoria dos Códigos, porém para raio 2, veremos uma demonstração de sua validade para infinitas dimensões relacionadas com um conjunto específico de números primos.An important concept in coding theory is the packing radius of a code, which we define as the maximum radius that allows us to cover the space in which the code is contained with disjoint balls centered at the code words. In this sense, perfect codes are codes where the case of a wrong word being outside all the balls centered at the code words does not occur. Whether a code is perfect or not depends on the chosen metric. In this work, we will present a study on perfect linear codes in the Lee metric and the criteria to optimize the radius around the code elements. Finally, we will present the Golomb-Welch Conjecture (1968), which states that there are no perfect Lee codes for certain values of dimension and radius for large alphabets. The general proof of this conjecture still remains an open problem in Coding Theory, however, for radius 2, we will see a demonstration of its validity for infinite dimensions related to a specific set of prime numbers.CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível SuperiorporUniversidade Federal de Juiz de Fora (UFJF)Mestrado Acadêmico em MatemáticaUFJFBrasilICE – Instituto de Ciências ExatasAttribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Brazilhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/br/info:eu-repo/semantics/openAccessCNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICACódigos corretores de errosCódigos perfeitosReticuladosError correcting codesPerfect codesLatticesA conjectura de Golomb-Welch com raio 2 para infinitas dimensõesinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesisreponame:Repositório Institucional da UFJFinstname:Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF)instacron:UFJFLICENSElicense.txtlicense.txttext/plain; charset=utf-81748https://repositorio.ufjf.br/jspui/bitstream/ufjf/15963/3/license.txt8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33MD53ORIGINALraphaelcascellidossantossouza.pdfraphaelcascellidossantossouza.pdfapplication/pdf1246173https://repositorio.ufjf.br/jspui/bitstream/ufjf/15963/1/raphaelcascellidossantossouza.pdfe887d647432136e9900a77b4a27316a0MD51CC-LICENSElicense_rdflicense_rdfapplication/rdf+xml; charset=utf-8811https://repositorio.ufjf.br/jspui/bitstream/ufjf/15963/2/license_rdfe39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34MD52TEXTraphaelcascellidossantossouza.pdf.txtraphaelcascellidossantossouza.pdf.txtExtracted texttext/plain141524https://repositorio.ufjf.br/jspui/bitstream/ufjf/15963/4/raphaelcascellidossantossouza.pdf.txtd9e53cca9ab1cd5818b5f287107e55efMD54THUMBNAILraphaelcascellidossantossouza.pdf.jpgraphaelcascellidossantossouza.pdf.jpgGenerated Thumbnailimage/jpeg1143https://repositorio.ufjf.br/jspui/bitstream/ufjf/15963/5/raphaelcascellidossantossouza.pdf.jpg7cc8a4275d7fa66c0b3b30e18c8992bcMD55ufjf/159632023-09-30 03:04:27.237oai:hermes.cpd.ufjf.br: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Repositório InstitucionalPUBhttps://repositorio.ufjf.br/oai/requestopendoar:2023-09-30T06:04:27Repositório Institucional da UFJF - Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF)false
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