Abordagem Geométrica da Dinâmica hamiltoniana: Aspectos Gerais e Aplicações à Modelos de Spin Clássicos

Detalhes bibliográficos
Autor(a) principal: RAMOS, Rúbia Esterfânia de Araújo
Data de Publicação: 2015
Tipo de documento: Dissertação
Idioma: por
Título da fonte: Repositório Institucional da UFPE
dARK ID: ark:/64986/001300000n3nx
Texto Completo: https://repositorio.ufpe.br/handle/123456789/26572
Resumo: Neste trabalho, descreveremos através de uma abordagem geométrica a dinâmica e o comportamento caótico em Sistemas Hamiltonianos. Para tal fim, discutiremos as hipóteses necessárias para realizarmos a geometrização da dinâmica, que nos possibilita relacionarmos as trajetórias de um sistema hamiltoniano com as geodésicas de sua variedade equipotencial, munida de uma métrica adequada. Inicialmente analisaremos o caso em que a variedade é isotrópica, onde encontraremos, após estudar a equação de Jacobi associada, que o sistema apresentará caos sempre que sua curvatura seccional for negativa. Para o caso não isotrópico, em baixa dimensão, veremos que o mecanismo de instabilidade paramétrica caracteriza a ocorrência do caos. Assumindo algumas hipóteses geométricas e estatísticas, no limite termodinâmico, ao relacionarmos a média e a flutuação da curvatura de Ricci, obteremos uma expressão analítica para o maior expoente de Lyapunov que dará suporte ao mecanismo de instabilidade paramétrica. Finalmente, faremos uma aplicação original da teoria desenvolvida para o modelo XY na presença do Campo. Os resultados encontrados estão em acordância com a termodinâmica do modelo e contribuem para um melhor entendimento dos aspectos geométricos associados da dinâmica do mesmo.
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Para o caso não isotrópico, em baixa dimensão, veremos que o mecanismo de instabilidade paramétrica caracteriza a ocorrência do caos. Assumindo algumas hipóteses geométricas e estatísticas, no limite termodinâmico, ao relacionarmos a média e a flutuação da curvatura de Ricci, obteremos uma expressão analítica para o maior expoente de Lyapunov que dará suporte ao mecanismo de instabilidade paramétrica. Finalmente, faremos uma aplicação original da teoria desenvolvida para o modelo XY na presença do Campo. Os resultados encontrados estão em acordância com a termodinâmica do modelo e contribuem para um melhor entendimento dos aspectos geométricos associados da dinâmica do mesmo.CAPESIn this work, we will describe through a geometric approach the dynamic and chaotic behavior in Hamiltonian systems. For this purpose, we discuss the hypothesis necessary to accomplish the geometrization of dynamics, which enables us to relate the trajectories of a Hamiltonian system with the geodesics of its equipotential manifold, provided with a suitable metric. First we will analyze the case of isotropic manifold, which we will find, after studying its Jacobi equation associated, that the system will present chaos whenever its sectional curvature is negative. For non-isotropic case, in low dimension, we will see that the parametric instability mechanism characterizes the occurrence of chaos. Assuming some geometric and statistics hypothesis, in the thermodynamic limit, which relate the mean and the fluctuation of Ricci curvature, we will obtain an analytical expression for the Lyapunov exponent which will support the parametric stability mechanism. Finally, we will make an original application of the theory developed for the XY model in the presence of the Field. The results found are in accordance with the thermodynamics of the model and contribute to a better understanding of the geometric aspects of their it dynamics.porUniversidade Federal de PernambucoPrograma de Pos Graduacao em MatematicaUFPEBrasilAttribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Brazilhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/br/info:eu-repo/semantics/openAccessSistemas dinâmicos diferenciaisSistemas hamiltonianosAbordagem Geométrica da Dinâmica hamiltoniana: Aspectos Gerais e Aplicações à Modelos de Spin Clássicosinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesismestradoreponame:Repositório Institucional da UFPEinstname:Universidade Federal de Pernambuco (UFPE)instacron:UFPETHUMBNAILDISSERTAÇÃO Rúbia Esterfânia de Araújo Ramos.pdf.jpgDISSERTAÇÃO Rúbia Esterfânia de Araújo Ramos.pdf.jpgGenerated Thumbnailimage/jpeg1367https://repositorio.ufpe.br/bitstream/123456789/26572/6/DISSERTA%c3%87%c3%83O%20R%c3%babia%20Esterf%c3%a2nia%20de%20Ara%c3%bajo%20Ramos.pdf.jpgb6262f5089cd02492a1c47f3fb0abae9MD56CC-LICENSElicense_rdflicense_rdfapplication/rdf+xml; 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