Quantização estocástica de Nelson e processos estocásticos
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Data de Publicação: | 2023 |
Tipo de documento: | Dissertação |
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Título da fonte: | Repositório Institucional da UFPE |
Texto Completo: | https://repositorio.ufpe.br/handle/123456789/54072 |
Resumo: | Este trabalho tem como objetivo o estudo da formulação estocástica de Nelson da mecânica quântica, visando possíveis aplicações em áreas onde métodos híbridos oriundos da mecânica quântica e da física estocástica têm sido usados com sucesso, como econofísica, epidemiologia matemática e física de sistemas complexos hierár- quicos. Inicialmente, realizamos uma revisão direcionada dos conceitos fundamentais da mecânica estatística fora do equilíbrio e processos estocásticos. O formalismo de Nelson é introduzido através da integral de Itô, juntamente com uma breve discussão de suas particularidades em relação à integral de Riemann, além da apresentação sucinta das condições de existência e unicidade de equações diferenciais estocás- ticas (EDE) e a aplicabilidade de EDE em sua forma "backward"em problemas de otimização. A partir disso, dividindo este estudo em duas partes, primeiro utilizamos o método variacional estocástico (MVE) para compreendermos como fazer a ponte entre mecânica estocástica, quântica e clássica e, em seguida, estudarmos como se dá a solução de EDEs via métodos numéricos, especialmente tratando do método de Euler-Maruyama. Por fim, na segunda parte, estudamos a obtenção e discutimos as propriedades da fase de Berry, a fim de propôr um método para a representação es- tocástica clássica a partir das correspondentes equações de Madelung e da equação dissipativa de Schrödinger. |
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BASTOS, Yuri Falcãohttp://lattes.cnpq.br/3686923903015979http://lattes.cnpq.br/7160030619369816MACÊDO, Antônio Murilo Santos2023-12-13T12:30:18Z2023-12-13T12:30:18Z2023-09-29BASTOS, Yuri Falcão. Quantização estocástica de Nelson e processos estocásticos. 2023. Dissertação (Mestrado em Física) – Universidade Federal de Pernambuco, Recife, 2023.https://repositorio.ufpe.br/handle/123456789/54072Este trabalho tem como objetivo o estudo da formulação estocástica de Nelson da mecânica quântica, visando possíveis aplicações em áreas onde métodos híbridos oriundos da mecânica quântica e da física estocástica têm sido usados com sucesso, como econofísica, epidemiologia matemática e física de sistemas complexos hierár- quicos. Inicialmente, realizamos uma revisão direcionada dos conceitos fundamentais da mecânica estatística fora do equilíbrio e processos estocásticos. O formalismo de Nelson é introduzido através da integral de Itô, juntamente com uma breve discussão de suas particularidades em relação à integral de Riemann, além da apresentação sucinta das condições de existência e unicidade de equações diferenciais estocás- ticas (EDE) e a aplicabilidade de EDE em sua forma "backward"em problemas de otimização. A partir disso, dividindo este estudo em duas partes, primeiro utilizamos o método variacional estocástico (MVE) para compreendermos como fazer a ponte entre mecânica estocástica, quântica e clássica e, em seguida, estudarmos como se dá a solução de EDEs via métodos numéricos, especialmente tratando do método de Euler-Maruyama. Por fim, na segunda parte, estudamos a obtenção e discutimos as propriedades da fase de Berry, a fim de propôr um método para a representação es- tocástica clássica a partir das correspondentes equações de Madelung e da equação dissipativa de Schrödinger.CNPqThis work aims to study Nelson’s stochastic formulation of quantum mechan- ics, with the aim of possible applications in areas where hybrid methods originat- ing from quantum mechanics and stochastic physics have been successfully used, such as econophysics, mathematical epidemiology, and physics of complex hierarchi- cal systems. Initially, we perform a targeted review of the fundamental concepts of non-equilibrium statistical mechanics and stochastic processes. Nelson’s formalism is introduced through the Itô integral, along with a brief discussion of its peculiarities com- pared to the Riemann integral, as well as a succinct presentation of the conditions for the existence and uniqueness of stochastic differential equations (SDEs) and the ap- plicability of SDEs in their "backward" form in optimization problems. Following this, dividing this study into two parts, we first use the stochastic variational method (SVM) to bridge the gap between stochastic, quantum, and classical mechanics, and then investigate how the solution of SDEs is achieved through numerical methods, partic- ularly focusing on the Euler-Maruyama method. Finally, in the second part, we study the derivation and discuss the properties of the Berry phase in order to propose a method for classical stochastic representation based on the corresponding Madelung equations and the dissipative Schrödinger equation.porUniversidade Federal de PernambucoPrograma de Pos Graduacao em FisicaUFPEBrasilAttribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Brazilhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/br/info:eu-repo/semantics/openAccessDinâmica não-linear, caos e sistemas complexosProbabilidadeEstocásticoItôBerryMadelungQuantização estocástica de Nelson e processos estocásticosinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesismestradoreponame:Repositório Institucional da UFPEinstname:Universidade Federal de Pernambuco (UFPE)instacron:UFPECC-LICENSElicense_rdflicense_rdfapplication/rdf+xml; charset=utf-8811https://repositorio.ufpe.br/bitstream/123456789/54072/2/license_rdfe39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34MD52ORIGINALDISSERTAÇÃO Yuri Falcao Bastos.pdfDISSERTAÇÃO Yuri Falcao Bastos.pdfapplication/pdf958391https://repositorio.ufpe.br/bitstream/123456789/54072/1/DISSERTA%c3%87%c3%83O%20Yuri%20Falcao%20Bastos.pdf1d5b50ffc8a241d3964b7917c6f43d6dMD51LICENSElicense.txtlicense.txttext/plain; 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