Tempo de recorrência e espera para rotações do círculo

Detalhes bibliográficos
Autor(a) principal: Oliveira, Pedro Henrique Antunes
Data de Publicação: 2020
Tipo de documento: Dissertação
Idioma: por
Título da fonte: LOCUS Repositório Institucional da UFV
Texto Completo: https://locus.ufv.br//handle/123456789/28016
Resumo: Este trabalho aborda recorrência em sistemas dinâmicos (motivada pelo Teorema da Re- corrência de Poincaré) com foco nas rotações irracionais do círculo. Tratamos o círculo como R/Z = {x + Z : x ∈ R} e assim também fazemos um estudo das estruturas to- pológica, métrica e de medida em R/Z. Em particular, damos uma definição do que entendemos pela medida de Lebesgue sobre o círculo e definimos uma métrica d Z compa- tível com a topologia quociente de R/Z. O principal resultado apresentado neste trabalho diz que dado α ∈ R \ Q, pondo f : R/Z → R/Z dada por f (x + Z) = (x + α) + Z (i.e. rotação do círculo por um ângulo α), para todo ponto x do círculo e para µ 1 -quase todo ponto y do círculo (sendo µ 1 a medida de Lebesgue sobre círculo), tem-se β 1 = R(x) ≤ R(x) = 1 = R(x, y) ≤ R(x, y) = β, sendo β = sup t > 0 : lim inf j d(jα, Z) = 0 , t j→∞ R(x, y) = lim inf + r→0 log(τ r (x,y)) , − log(r) R(x, y) = lim sup r→0 + log(τ r (x,y)) , − log(r) τ r (x, y) = inf{n ∈ Z : n ≥ 1, d Z (f n (x), y) < r}, R(x) = R(x, x) e R(x) = R(x, x). É um fato conhecido que para quase todo número real α (de acordo com a medida de Lebesgue sobre R), tem-se β = 1, o que enfatiza a relevância deste resultado. Também estudamos resultados mais gerais sobre a relação entre recorrência e dimensão pontual de uma medida, a saber, uma desi- gualdade apresentada por Barreira e Saussol e uma outra desigualdade apresentada por Galatolo. Palavras-chave: Círculo. Rotação Irracional. Recorrência.
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spelling Oliveira, Pedro Henrique Antuneshttp://lattes.cnpq.br/3882161374120170Corrêa, André Junqueira da Silva2021-07-27T14:23:28Z2021-07-27T14:23:28Z2020-03-06OLIVEIRA, Pedro Henrique Antunes. Tempo de recorrência e espera para rotações do círculo . 2020. 85 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Federal de Viçosa, Viçosa. 2020.https://locus.ufv.br//handle/123456789/28016Este trabalho aborda recorrência em sistemas dinâmicos (motivada pelo Teorema da Re- corrência de Poincaré) com foco nas rotações irracionais do círculo. Tratamos o círculo como R/Z = {x + Z : x ∈ R} e assim também fazemos um estudo das estruturas to- pológica, métrica e de medida em R/Z. Em particular, damos uma definição do que entendemos pela medida de Lebesgue sobre o círculo e definimos uma métrica d Z compa- tível com a topologia quociente de R/Z. O principal resultado apresentado neste trabalho diz que dado α ∈ R \ Q, pondo f : R/Z → R/Z dada por f (x + Z) = (x + α) + Z (i.e. rotação do círculo por um ângulo α), para todo ponto x do círculo e para µ 1 -quase todo ponto y do círculo (sendo µ 1 a medida de Lebesgue sobre círculo), tem-se β 1 = R(x) ≤ R(x) = 1 = R(x, y) ≤ R(x, y) = β, sendo β = sup t > 0 : lim inf j d(jα, Z) = 0 , t j→∞ R(x, y) = lim inf + r→0 log(τ r (x,y)) , − log(r) R(x, y) = lim sup r→0 + log(τ r (x,y)) , − log(r) τ r (x, y) = inf{n ∈ Z : n ≥ 1, d Z (f n (x), y) < r}, R(x) = R(x, x) e R(x) = R(x, x). É um fato conhecido que para quase todo número real α (de acordo com a medida de Lebesgue sobre R), tem-se β = 1, o que enfatiza a relevância deste resultado. Também estudamos resultados mais gerais sobre a relação entre recorrência e dimensão pontual de uma medida, a saber, uma desi- gualdade apresentada por Barreira e Saussol e uma outra desigualdade apresentada por Galatolo. Palavras-chave: Círculo. Rotação Irracional. Recorrência.In this work, we study recurrence in dynamical systems (motivated by the Poincaré Re- currence Theorem) with a focus on irrational circle rotations. The circle is treated as the quotient R/Z = {x + Z : x ∈ R} and thus we explore some of its topological, metric, and measure-theoretical structure. In particular, we give a definition of what is understood by the Lebesgue measure in the circle and we also define a metric d Z compatible with the quotient topology of R/Z. The main result of this work states that given α ∈ R \ Q, if we put f : R/Z → R/Z given by f (x + Z) = (x + α) + Z (i.e. circle rotation of angle α), then for all x ∈ R/Z, and for µ 1 -almost every y ∈ R/Z (µ 1 denotes the Lebes- gue measure in the circle), we have: β 1 = R(x) ≤ R(x) = 1 = R(x, y) ≤ R(x, y) = β, where β = sup t > 0 : lim inf j d(jα, Z) = 0 , R(x, y) = lim inf + t j→∞ r→0 log(τ x (x,y)) , − log(r) R(x, y) = x (x,y)) lim sup log(τ , τ r (x, y) = inf{n ∈ Z : n ≥ 1, d Z (f n (x), y) < r}, R(x) = R(x, x), and − log(r) r→0 + R(x) = R(x, x). It is a known fact that for almost every real number α (with respect to the Lebesgue measure in R), the β above is 1, which emphasizes the above result’s relevance. Throughout this dissertation, we also study more general results about recur- rence reates, relating them to pointwise dimension of a measure, namely, an inequality presented by Barreira and Saussol and another inequality presented by Galatolo. Keywords: Circle. Irrational Rotation. Recurrence.porUniversidade Federal de ViçosaTeoria ergódicaFrações contínuasSistemas DinâmicosTempo de recorrência e espera para rotações do círculoRecurrence and hitting time for irrational rotationsinfo:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesisUniversidade Federal de ViçosaDepartamento de MatemáticaMestre em MatemáticaViçosa - MG2020-03-06Mestradoinfo:eu-repo/semantics/openAccessreponame:LOCUS Repositório Institucional da UFVinstname:Universidade Federal de Viçosa (UFV)instacron:UFVORIGINALtexto completo.pdftexto completo.pdftexto completoapplication/pdf919499https://locus.ufv.br//bitstream/123456789/28016/1/texto%20completo.pdfaa91cc16d38cf21a6534ffba418138f9MD51LICENSElicense.txtlicense.txttext/plain; charset=utf-81748https://locus.ufv.br//bitstream/123456789/28016/2/license.txt8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33MD52123456789/280162021-08-06 21:13:06.701oai:locus.ufv.br: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Repositório InstitucionalPUBhttps://www.locus.ufv.br/oai/requestfabiojreis@ufv.bropendoar:21452021-08-07T00:13:06LOCUS Repositório Institucional da UFV - Universidade Federal de Viçosa (UFV)false
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