Superfı́cies totalmente umbı́licas em variedades homogêneas tridimensionais

• Autor(a) principal: Medina, Andruss Keissi Lugo
• Data de Publicação: 2020
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: LOCUS Repositório Institucional da UFV
• Texto Completo: https://locus.ufv.br//handle/123456789/28007
• topic: Geometria riemanniana; Isometria (Matemática); Geodésica (Matemática); Geometria e Topologia

Recentemente, o estudo de superfı́cies com propriedades geométricas preestabelecidas, imersas em variedades homogêneas de dimensão 3, têm recebido atenção de diversos geômetras, um dos principais foi H.Rosenberg, veja [17]. O principal objetivo deste trabalho foi estudar superfı́cies totalmente umbı́licas em variedades homogêneas tridi- mensionais cujo grupo de isometrias tem dimensão 4, estes espaços são conhecidos como espaços E³ (κ, τ ). Para cumprir tal objetivo, apresentaremos no capı́tulo 1 as ferramentas necessárias para classificar as superfı́cies totalmente umbı́licas em E³ (κ, τ ). Começaremos definindo alguns conceitos da Geometria Diferencial, tais como superfı́cie, curvatura, pontos umbı́licos, superfı́cies completas, dentre outros. Além disso, vamos apresentar a classificação das superfı́cies totalmente umbı́licas em E³ (κ, τ ) com κ = τ = 0, ou seja, em R³ . Em seguida, com o objetivo do obter o teorema de classificação das superfı́cies totalmente umbı́licas em H² × R e S² × R, que será apresentado no capı́tulo 2, apresentamos de maneira sucinta a geometria das formas espaciais bidimensionais H² e S². No capı́tulo 2, provamos a inexistência de superfı́cies totalmente umbı́licas em variedades homogêneas E³ (κ, τ ) para τ ≠ 0, isto é, aquelas que não são produtos Riemannianos. Em seguida, apresentamos a classificação das superfı́cies totalmente umbı́licas em S² × R e em H² × R. Por fim, apresentamos um resultado de unicidade das superfı́cies totalmente umbı́licas em S² × R e em H² × R. Palavras-chave: Teorema de Classificação. Isometrias positivas. Teorema de unicidade. Submersão de Killing.