Álgebras de Clifford e a fibração de Hopf

Detalhes bibliográficos
Autor(a) principal: Mendes, Douglas, 1985-
Data de Publicação: 2012
Tipo de documento: Dissertação
Idioma: por
Título da fonte: Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)
Texto Completo: https://hdl.handle.net/20.500.12733/1617584
Resumo: Orientador: Rafael de Freitas Leão
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spelling Álgebras de Clifford e a fibração de HopfClifford algebras and the Hopf fibrationFibrados (Matemática)Álgebra de CliffordSpinor - AnáliseFiber bundles (Mathematics)Clifford algebrasSpinor analysisOrientador: Rafael de Freitas LeãoDissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação CientíficaResumo: Os grupos Spin aparecem de várias formas em Matemática e em Física-Matemática, tendo grande importância na teoria de brados e de operadores diferenciais sobre os mesmos. O conceito de estrutura spin é deles derivado, sendo ele a base de toda uma teoria, conhecida como geometria spin. Esta dissertação introduz os primeiros conceitos necessários ao estudo de tais grupos, assim como alguns aspectos importantes relacionados a eles. Dada a natureza dos grupos Spin e dos problemas aos quais estão relacionados, vários tópicos na interface entre álgebra e geometria tiveram de ser abordados. Estudamos em um primeiro momento as álgebras de Clifford, sua representação adjunta torcida e os grupos Spin como subgrupos do grupo das unidades de tais álgebras. À estes estudos, seguiu-se uma análise detalhada da teoria de espaços de recobrimento e da classificação dos mesmos. Pudemos com isso entender o grupo Spin, via representação adjunta torcida, como o recobrimento universal do grupo especial ortogonal de um espaço quadrático não-degenerado. Nos concentramos daí na teoria de brados principais e a relação destes com as propriedades geométricas das variedades sobre as quais eles estão construídos. Para sintetizar o que foi estudado, construímos algebricamente a fibração de Hopf ao final desta dissertação, explicitando sua relação com a estrutura spin da esfera S²Abstract: Spin groups come in many forms in Mathematics and Mathematical Physics, having great importance in the theory of fiber bundles and differential operators defined on them. The concept of spin structure is derived from them, being the basis of all a theory, known as spin geometry. This thesis introduces the first concepts necessary for the study of such groups, as well as important aspects related to them. Given the nature of the Spin groups and problems which they're related to, several topics at the interface between algebra and geometry had to be addressed. At first, we studied Clifford algebras, their twisted adjoint representation and Spin groups as subgroups of the group of units of such algebras. Followed these studies a detailed analysis of the theory of covering spaces and the classification of them. Done that, we were able to understand the group Spin, via the twisted adjoint representation, as the universal covering space of the special orthogonal group of a non-degenerate quadratic space. From there, we focused on the theory of principal bundles and their relationship with the geometric properties of manifolds on which they are built. To summarize what was studied, we algebraically construct the Hopf fibration at the end of this thesis, explaining its relationship with the spin structure of the sphere S²MestradoMatemáticaMestre em Matemática[s.n.]Leão, Rafael de Freitas, 1979-Jardim, Marcos BenevenutoFerreira, Carlos Henrique GrossiUniversidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Instituto de Matemática, Estatística e Computação CientíficaPrograma de Pós-Graduação em MatemáticaUNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASMendes, Douglas, 1985-2012info:eu-repo/semantics/publishedVersioninfo:eu-repo/semantics/masterThesisapplication/pdf175 p. : il.https://hdl.handle.net/20.500.12733/1617584MENDES, Douglas. Álgebras de Clifford e a fibração de Hopf. 2012. 175 p. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, Campinas, SP. Disponível em: https://hdl.handle.net/20.500.12733/1617584. Acesso em: 3 set. 2024.https://repositorio.unicamp.br/acervo/detalhe/854865porreponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)instname:Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)instacron:UNICAMPinfo:eu-repo/semantics/openAccess2017-02-18T06:35:27Zoai::854865Biblioteca Digital de Teses e DissertaçõesPUBhttp://repositorio.unicamp.br/oai/tese/oai.aspsbubd@unicamp.bropendoar:2017-02-18T06:35:27Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP) - Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)false
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