O Teorema de Borsuk-Ulam: uma versão fraca associada a grupos topológicos

• Autor(a) principal: Marini, Mirela Cristina
• Data de Publicação: 2017
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Institucional da UNESP
• Texto Completo: http://hdl.handle.net/11449/152203
• topic: Teorema de Borsuk-Ulam; Versão Fraca do Teorema de Borsuk Ulam; Involução Livre; Grupos Topológicos; Superfície; Borsuk-Ulam Theorem; Weak Version of Borsuk-Ulam Theorem; Free Involution; Topological Groups; Surfaces

O Teorema de Borsuk-Ulam clássico afirma que: “Se f : Sn → IRn é uma aplicação contínua, entãoexisteumponto x em Sn talque f(x) = f(−x), ouequivalentemente f(x) = f(A(x)), onde Sn indica a esfera unitária n-dimensional e A : Sn → Sn é a aplicação antipodal”. Se pensamos na superfície terrestre como uma esfera, o caso n = 2 pode ser ilustrado dizendo-se que em cada instante, existe sempre um par de pontos antipodais na superfície da Terra com mesma temperatura e pressão barométrica (supondo que a temperatura e a pressão variam continuamente na superfície). Este trabalho é baseado no artigo “Some generalizations of the Borsuk-Ulam Theorem” de Vendrúsculo, Desideri e Pergher (2011), [8], e tem como principal objetivo apresentar um estudo de uma versão fraca do Teorema de Borsuk-Ulam associada a grupos topológicos. Diz-se que {(X,T);G}, onde X é um espaço topológico equipado por uma involução livre T e G é um grupo topológico, “satisfaz uma versão fraca do Teorema de Borsuk-Ulam”, abreviadamente, “satisfaz WBUT”, se, para cada aplicação contínua f : X → G, temos que o conjunto {x ∈ X; f(x) · f(T(x))−1 ∈ 2G} é diferente do vazio, onde f(T(x))−1 é o simétrico de f(T(x)) em G e 2G = {g ∈ G; g = g−1}. Neste trabalho, relacionamos essa condição fraca com a condição geral de “satisfazer o Teorema de Borsuk-Ulam” (ou “satisfazer BUT”) dada também pelos autores; apresentamos alguns exemplos; considerando G = T2 (toro), detalhamos a demonstração de um resultado que estabelece um critério algébrico para que {(X,T);T2} satisfaça a condição WBUT e de um resultado que dá uma equivalência entre a versão fraca WBUT para triplas {(S,T);T2} e a condição BUT para {(S,T);IR2}, sendo S uma superfície fechada. Por fim, apresentamos um invariante topológico obtido da versão WBUT. Tal invariante, por nós definido, é similar ao obtido da condição BUT e apresentado pelos autores citados.