Sobre a energia e energia corrigida de campos unitários e distribuições: volume de campos unitários

• Autor(a) principal: Martín, Pablo Miguel Chacón
• Data de Publicação: 2000
• Tipo de documento: Tese
• Idioma: por
• Título da fonte: Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP
• Texto Completo: https://teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45131/tde-20210729-122351/
• topic: Espaços Hiperbólicos; Geometria Diferencial

Define-se a energia de um campo de vetores unitário X numa variedade riemanniana `M POT.N¦como a enerigia da seção X : `M SETA T POT.1 M¦ que determina. No fibrado tangente `T POT.1 M¦ consideramos a métrica de Sasaki. Analogamente, a energia de uma distribuição de dimensão q é a energia da seção no fibrado de q-planos tangentes a M. Os mínimos triviais do funcional energia são os campos paralelos ou as distribuições totalmente geodésicas com complementar também totalmente geodésico. Quando não existem estes campos ou distribuições, como no caso das esferas `S POT.2k+1 K>1¦, estudamos os pontos críticos, mínimos locais e globais do funcional. Para campos de vetores, é apresentado um teorema que dá uma limitação inferior para a soma das energias de n campos ortogonais. Para distribuições conseguimos provar um teorema para variedades quaisquer que aplicado às esferas `S POT.2k+1¦ fornece uma limitação inferior para a energia. Esta cota inferior é atingida pela folheação Norte-Sul (com duas singularidades). Numa análise variacional, mostra-se também que as fibrações de Hopf `S POT.3 SETA S POT.4K+3¦ são pontos críticos instáveis. O volume de um campo de vetores unitário é o volume da imagem da seção correspondente no fibrado tangente unitário, sendo este fibrado munido da métrica de Sasaki. De novo, os campos paralelos são os mínimos triviais. Demonstra-se nesta tese que o volume é limitado inferiormente pela soma, com certos coeficientes combinatórios, das integrais das funções simétricas de ordem 2i da segunda forma fundamental da distribuição complementar ao campo X. Estas integrais resultam ser independentes de X em espaços de curvatura seccional constante. Deste modo conseguimos dizer que nas esferas `S POT.2K+1¦, o volume de um campo unitário é sempre maior que o volume do campo Norte-Sul. O teorema principal do volume é aplicado também a espaços hiperbólicos compactos obtendo assim uma limitação não ) trivial do volume de uma campo unitário