Recorrências lineares, isometria, criptografia e outras aplicações envolvendo matrizes 2 por 2

• Autor(a) principal: Silva, Adilson Francisco da
• Data de Publicação: 2017
• Tipo de documento: Dissertação
• Idioma: por
• Título da fonte: Repositório Institucional da UTFPR (da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (RIUT))
• Texto Completo: http://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/handle/1/4492
• topic: CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA; Matrizes (Matemática); Isometria (Matemática); Criptografia; Matrices; Isometric (Mathematics); Cryptography; Matemática

O presente trabalho tem como tema principal apresentar aplicações envolvendo matrizes de ordem 2. Para tanto, inicialmente é apresentada a definição de matrizes, as operações e suas propriedades, bem como, o estudo de matrizes transposta, invertíveis e o cálculo do determinante, nos restringindo a matrizes de ordem 2. Posteriormente, definimos isometria no plano como uma transformação geométrica que preserva distância e ângulos. Apresentamos as representações matriciais de rotação, translação e reflexão e mostramos que toda isometria é da forma ƒ (u) = T(u)+w, onde T é uma aplicação linear ortogonal. Definimos matrizes semelhantes e suas propriedades e encontramos condições necessárias e suficientes para que uma matriz de ordem 2 seja diagonalizável, bem como a matriz diagonal correspondente e a matriz conjugadora. Calculamos a n-ésima potência de uma matriz de ordem 2 diagonalizável e com isso resolvemos relações de recorrência lineares da forma xn+1 =axn+bxn-1, em particular a sequência de Fibonacci. Estudamos as cônicas representadas pela equação ax2+2bxy+cy2+ dx+ey+ƒ=0, onde através de isometrias identificamos como sendo, uma elípse, hipérbole, parábola, ponto, reta, um par de retas paralelas ou concorrentes, e até mesmo o conjunto vazio. Finalizamos com a criptografia utilizando multiplicação de matrizes e o cálculo de matrizes inversas.